AcWing 798. 差分矩阵
题目描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q,。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
思路
差分矩阵的原理
假设有一个二维矩阵 mat，你需要对这个矩阵的某个子矩阵区域多次进行增加操作。直接更新会导致每次操作的时间复杂度和该子矩阵的大小成正比，当操作次数和矩阵大小都很大时，直接更新效率低下。
这时可以使用差分矩阵 diff 来优化。差分矩阵同样是二维的，其大小与原矩阵 mat 相同。差分矩阵的主要思想是记录变化（增量），而非直接改变矩阵 mat 的值。对差分矩阵的操作最终将被应用回原矩阵以反映所有的更新。
如何操作差分矩阵
- 初始化：
- 差分矩阵
diff初始化时，所有值都为 0。
- 差分矩阵
- 执行更新：
- 假设你要将子矩阵
(x1, y1)到(x2, y2)中的所有元素增加值v。 - 更新
diff[x1][y1]增加v表示从(x1, y1)开始，整个矩阵的元素都增加v。 - 更新
diff[x1][y2+1]减少v表示从(x1, y2+1)开始，右侧矩阵列元素恢复原值。 - 更新
diff[x2+1][y1]减少v表示从(x2+1, y1)开始，下方矩阵行元素恢复原值。 - 更新
diff[x2+1][y2+1]增加v表示从(x2+1, y2+1)开始，右下角的重叠部分再次增加v，从而修正过度减少的部分。
- 假设你要将子矩阵
- 构建最终矩阵：
- 通过累加
diff矩阵的前缀和来构建最终矩阵mat。这是通过对每一行和每一列分别累加来完成的，确保每个mat[i][j]反映了所有相关的diff更新。
- 通过累加
C++
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int arr[N][N];void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {arr[x1][y1] += c;arr[x2 + 1][y1] -= c;arr[x1][y2 + 1] -= c;arr[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}int main() {int n, m, q, tmp;scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {scanf("%d", &tmp);insert(i, j, i, j, tmp);}}while (q--) {int x1, y1, x2, y2, c;scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);insert(x1, y1, x2, y2, c);}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {arr[i][j] += arr[i][j - 1] + arr[i - 1][j] - arr[i - 1][j - 1];printf("%d ", arr[i][j]);}printf("\n");}return 0;
}
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}int main() {scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)scanf("%d", &a[i][j]);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)insert(i, j, i, j, a[i][j]);while (q--) {int x1, y1, x2, y2, c;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;insert(x1, y1, x2, y2, c);}for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", b[i][j]);puts("");}return 0;
}
Go
package mainimport ("bufio""fmt""os"
)func insert(arr [][]int, x1, y1, x2, y2, c int) {arr[x1][y1] += carr[x1][y2+1] -= carr[x2+1][y1] -= carr[x2+1][y2+1] += c
}func main() {var n, m, q, tmp intreader := bufio.NewReader(os.Stdin)fmt.Fscan(reader, &n, &m, &q)arr := make([][]int, n+2)for i := 0; i <= n+1; i++ {arr[i] = make([]int, m+2)}for i := 1; i <= n; i++ {for j := 1; j <= m; j++ {fmt.Fscan(reader, &tmp)insert(arr, i, j, i, j, tmp)}}for i := 1; i <= q; i++ {var x1, y1, x2, y2, c intfmt.Fscan(reader, &x1, &y1, &x2, &y2, &c)insert(arr, x1, y1, x2, y2, c)}writer := bufio.NewWriter(os.Stdout)defer writer.Flush()for i := 1; i <= n; i++ {for j := 1; j <= m; j++ {arr[i][j] += arr[i][j-1] + arr[i-1][j] - arr[i-1][j-1]fmt.Fprint(writer, arr[i][j], " ")}fmt.Fprintln(writer)}
}
模板
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
