【动态规划】切割钢条详解python

1. 问题介绍和应用场景

切割钢条问题是运筹学和算法设计中的一个经典问题，涉及如何最优化切割有限资源以最大化收益。这个问题经常用作动态规划教学的入门案例，同时在工业生产中也有实际应用，比如在金属加工业中如何切割原材料以减少浪费并增加销售利润。

2. 初阶问题-价值最大

定义：给定一根长度为 ( n ) 的钢条和一个价格表，表中列出了从长度 1 到 ( n ) 的每一种长度的钢条的售价。求切割方案，使得销售收益最大化。

示例：

钢条长度：4
价格表：{1:1, 2:5, 3:8, 4:9}

最优切割方案是切割为两段，每段长度为 2，销售收益为 ( 5 + 5 = 10 )。

状态定义

定义 dp[i] 为长度为 ( i ) 的钢条的最大销售收益。

状态转移方程

考虑每一种可能的切割第一刀的位置，状态转移方程为：

在这里插入图片描述

初始化和边界情况

( dp[0] = 0 )：长度为 0 的钢条没有收益。

算法实现

def cut_rod(price, n):dp = [0] * (n + 1)for i in range(1, n + 1):max_val = float('-inf')for j in range(1, i + 1):max_val = max(max_val, price[j] + dp[i - j])dp[i] = max_valreturn dp[n]# 示例使用
price = {1: 1, 2: 5, 3: 8, 4: 9}
n = 4
print("最大收益:", cut_rod(price, n))  # 输出: 最大收益: 10

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中 ( n ) 是钢条的长度。需要计算每个长度的最优解，每次计算涉及遍历所有可能的切割点。
空间复杂度：O(n)，存储长度为 ( n ) 的 dp 数组。

算法图解

为了进一步阐明“切割钢条”问题的动态规划解法，并辅以图解，我们将使用一个示例和配套的说明来详细解释每一步的计算过程。我们继续用整数数组 price = {1:1, 2:5, 3:8, 4:9} 和钢条长度 n = 4 来演示。

首先，我们初始化动态规划表 dp。表的每个单元格将代表长度为 (i) 的钢条的最大销售收益。

初始化

初始 dp 表：

Length ((i))	0	1	2	3	4
dp[i]	0	0	0	0	0

dp[0] = 0：没有钢条时，收益为0。

填充过程

逐步计算每个长度的最大收益。

长度为 1:
- 只有一种切法，即不切，直接卖出。
- dp[1] = price[1] = 1
长度为 2:
- 切为两个长度为 1 的钢条，或不切。
- dp[2] = max(price[2], price[1] + dp[1]) = max(5, 1+1) = 5
长度为 3:
- 切为三个长度为 1 的钢条，切为一个长度为 1 和一个长度为 2 的钢条，或不切。
- dp[3] = max(price[3], price[1] + dp[2], price[2] + dp[1]) = max(8, 1+5, 5+1) = 8
长度为 4:
- 切为四个长度为 1 的钢条，切为两个长度为 2 的钢条，切为一个长度为 1 和一个长度为 3 的钢条，或不切。
- dp[4] = max(price[4], price[1] + dp[3], price[2] + dp[2], price[3] + dp[1]) = max(9, 1+8, 5+5, 8+1) = 10

最终填充的 dp 表：

Length ((i))	0	1	2	3	4
dp[i]	0	1	5	8	10

图解说明

想象一个表格，行表示钢条长度，列代表不同的切割方案。每个单元格填入该切割方案的收益，最后选择每行中的最大值填入到 dp 表中。每次切割决策基于获取最大收益的需要。

   +---------------------------------------+| Length | Cut Scenario                 |+---------------------------------------+|   1    | [1] -> 1                     ||   2    | [1+1], [2] -> 5              ||   3    | [1+1+1], [1+2], [3] -> 8     ||   4    | [1+1+1+1], [2+2], [1+3], [4] -> 10 |+---------------------------------------+

3.进阶问题-最优切割方案

在讨论切割钢条问题或任何涉及资源分割的优化问题时，“最优切割方案”指的是通过合理分割资源（如钢条、织物等）以达到某个特定目标（如最大化利润、最小化浪费等）的一种策略或方案。在动态规划的上下文中，这通常涉及确定一系列决策，这些决策共同导致全局最优的结果。

最优切割方案的定义

在切割钢条的例子中，钢条有一定长度，每个长度有一个对应的市场价值。最优切割方案就是找到一种切割钢条的方式，使得从出售这些切割后的小段钢条所获得的总收益最大化。

关键组件

目标：最大化从出售切割后的钢条获得的收益。
决策：选择在哪些点切割钢条，包括决定每一段的长度。
状态：用于描述问题的某个阶段或条件，如钢条的当前长度。
状态转移：决策导致状态改变，进而更新问题的当前解的方式，如从更长的钢条到切割后的剩余部分。

如何找到最优切割方案

定义状态：
- dp[i] 表示长度为 i 的钢条的最大销售收益。
状态转移方程：
- dp[i] = max(dp[i], price[j] + dp[i-j])，其中 1 ≤ j ≤ i 是可能的切割点，price[j] 是长度 j 的钢条的价格。
记录切割点：
- 使用一个辅助数组 s[i] 来记录获得 dp[i] 的最大收益时的首次切割点。
回溯切割方案：
- 从 s[n] 开始回溯，其中 n 是钢条的总长度，通过连续查询 s 数组构建出全部的切割方案。