计算机中的小数表示

文章目录

前言
整数表示的缺陷
定点小数
- - 定点小数加法乘法运算
浮点数
IEEE754浮点数标准
- - 移码
  - 阶码的移码表示
IEEE754中的特殊点
- - 两个0
  - 非规格化数字
  - 正常浮点数
  - 无穷大
  - NaN
浮点数简单举例
浮点数一些其余特性
- - 浮点数计算不符合结合律
  - 浮点数舍入规则
  - 浮点数与整数之间的相互转换
总结

前言

本文会详细解释浮点数在计算机中的表示，读者需要有简单二进制无符号数，补码表示的基本知识即可。耐心看完就能掌握计算机中的浮点数的表示及其特点。文中我已经尽量多用图、表帮助大家理解。

整数表示的缺陷

对于 $N bi t$ 表示的无符号数，其可以表示从 $0 - (2^{N}-1)$ 范围内的所有整数。当 $N = 32$ 时，其表示的最大值为 $2^{32}-1)=4,294,967,295$
对于用补码表示的 $N bi t$ 表示的有符号数，其可以表示从 $2^{N-1})-(2^{N-1}-1)$ 范围内的所有整数。当 $N = 32$ 时，其表示的最大值为 $2^{31}-1)=2,147,483,647$

缺点在于我们无法表示特别大的小数以及特别小的小数以及小数。
例如： $3.155692611×2^{10}$ 或 $3.155692611×2^{-11}$ 或一个简单的 $1.5$

定点小数

定点小数，即小数点位置固定的小数表示方法。在十进制中，以小数 $11.1101$ 为例，其每一位的位权如下图所示：
在这里插入图片描述
和十进制表示类似，大家可以猜到在二进制表示中，以 $6 bi t$ 形式定点小数 $xx . yyyy$ 为例，其每一位的位权则如下图所示：

此时， $11.1101_2$ 表示的小数十进制下其值为： $2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 3.8125$

按照上方定点小数表示方法，可表示的数字范围最小值： $x\ y$ 全 $0$ 则为 $0$ ，最大值： $x\ y$ 全 $1$ 则为 $2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375$ 。表示整数部分的长度为 $m$ ，表示小数部分的长度为 $n$ ，最大值可表示为 $2^m-2^{-n})$ 。简单理解：全 $1$ 表示的二进制小数 $11.1111_2$ 加 $00.0001_2=2^{-n}$ 即为 $100.0000_2=2^m$ 。

定点小数加法乘法运算

为了过程简单， $1.5$ 用上方二进制定点小数但小数部分少一位来表示为 $01.100_2$ ，0.5表示为 $00.100_2$ 。加法则按顺序排列，位权相同对应位置相加，乘法和十进制数字加法一样，分别如下图左右所示。
在这里插入图片描述
使用上述定点小数表示法仍旧有效无法表示特别大和特别小的小数。例如： $3.155692611234×2^{10}$ 或 $3.155692611×2^{-11}$

浮点数

我们先以十进制科学计数法数字： $6.02×10^{23}$ 为例， $6.02$ 是尾数 $(s i g ni f i c an d)$ ， $23$ 是阶码 $(e x p o n e n t)$ ， $10$ 是基数 $(ba se / r a d i x)$ 。其中，规格化的要求中尾数的最高有效位不为 $0$ 且小数点左侧只能有一位。
规格化： $1.0×10^{-9}$ ，不能是 $0.1×10^{-8}$ ，也不能是 $10.0×10^{-10}$ 。

同理扩展到二进制之中，则以 $1.01_2×2^{-1}$ 为例， $1.01$ 为尾数， $- 1$ 为阶码， $2$ 为基数。其中，由于二进制中只有 $0$ 和 $1$ ，除了 $0$ 之外的每一个规格化之后的二进制小数小数点左侧都为 $1$ 。这就是浮点数。用科学计数法形式更准确表示规格化之后的数字为如下形式： $1.xxx...x * 2^{yyy...y}$ 。

IEEE754浮点数标准

二进制中除了 $0$ 之外的所有小数规格化之后小数点左侧都为 $1$ ，标准在表示尾数时把它省略，尾数部分只表示 $xxx ... x$ 部分，阶码用于表示 $yyy ... y$ 部分，首位数符表示数据的正负。 $32 bi t$ 单精度浮点数的各个字段及其长度如下图所示：

在这里插入图片描述
上述 $I EEE 754$ 标准中，由一组 $32 bi t$ 二进制数计算其表示的小数的公式为： $\color{red}(-1)^S*(1.0+significand)*2^{Exponent-127}$ 。其阶码要减掉 $127$ 的原因在于标准采用了移码来表示。具体随后详细解释。

此时，一位表示数符， $8$ 位用于表示阶码，阶码位数越多，则表示的范围越大。 $23$ 位表示尾数，尾数位数越多，则表示的精度越高。

最低有效位 $\ Significant \ Bit$ 的位权为 $2^{-23}$ ，具体可类比上方定点小数表示中小数位数及其位权的关系。

移码

移码本身非常容易理解。对于 $N bi t$ 无符号数，其表示的数据范围是 $0, 2^N-1]$ 。移码的特性在于在无符号数的基础上添加了一个 $bia s$ 偏移量。其表示的范围变为 $bias,\ 2^N-1-bias]$ 。直观来说：移码用 $a + bia s$ 的二进制序列来存储 $a$ 的值。其规律如下图所示：
在这里插入图片描述
移码最直观的特点：越小的数字，其二进制表示下的无符号数也越小。这为浮点数比较提供了方便。

对于 $N bi t$ 表示的移码，为了保持移码表示的正负数的数量基本一致，其偏移量一般取值为 $2^{N-1}-1$ 。对于 $8 bi t$ 一般的便宜量取值为 $127$ 。这也是 $I EEE 754$ 标准的取值。上方未标明 $bia s$ 的取值，但可观察到 $bia s$ 为 $3$ 。

注：课程 $CS 61 C$ 在数据表示课程中的移码把 $bia s$ 理解为负数，例如取偏移量为 $- 3$ ，而获得表示值的过程变为其无符号数加上 $bia s$ 。这和我们的 $bia s$ 取正，获取到真值的过程为无符号数减掉 $bia s$ 异曲同工。加负数和减掉正数的区别。标准中为我们理解的 $bia s$ 取正值。

阶码的移码表示

阶码用 $8$ 位表示，由于每一个符合标准的小数都必须经过规格化，当阶码不相等时，则比较阶码，阶码相等再去比较尾数。此时为了在没有特定浮点数硬件的机器上支持浮点数，例如：使用整数比较指令对浮点数进行排序，标准制定者对阶码使用移码表示。

若使用补码表示，那么当阶码为负数时，其二进制序列表示的无符号整数比阶码为正数时更大，例如： $32 bi t$ 的 $- 1$ 和 $1$ 用补码表示分别为： $0 x 11111111$ 和 $0 x 00000001$ 。

设计者选择移码来表示阶码。为 $32 bi t$ 的单精度浮点数中 $8 bi t$ 移码选择的 $bia s$ 偏移量为 $127$ 。其余长度下浮点数各字段长度如下表所示：
在这里插入图片描述
我们知道按照 $bia s$ 为 $127$ 来计算，其移码可以表示的范围是 $[- 127, 128]$ ，区间两个端点 $- 127$ 对应的阶码二进制为 $8$ 位全 $0$ ， $128$ 对应阶码二进制为 $8$ 位全 $1$ ，这两个端点在标准中都有特殊意义，故在表格中没有他们。

IEEE754中的特殊点

我们知道 $I EEE 754$ 标准中规定了阶码的表示值的有效范围为 $[- 126, 127]$ ，其两个端点的特殊情况以及尾数的取值的具体意义如下表所示：

在这里插入图片描述
阶码为 $0$ ，尾数为 $0$ ，表示数字 $0$ 。
阶码为 $0$ ，尾数不为 $0$ ，表示非规格化小数。
阶码的范围 $[1, 254]$ 对应表示值范围为 $[- 126, 127]$ 。无特殊意义，正常表示浮点数。
阶码为 $255$ ，尾数为 $0$ ，表示无穷大，符号位的正负作为正负无穷大的区分。
阶码为 $255$ ，尾数不为 $0$ ，表示 $\ a \ number(NaN)$

正式介绍这几种情况之前，先给出一个初步不全面的浮点数的表示范围。
最小正数：数符为正，阶码最小： $- 126$ ，尾数最小： $0$ 。其表示的浮点数为： $1.0*2^{-126} \approx 1.1754*10^{-38}$
最大正数：数符为正，阶码最大： $127$ ，尾数最大： $23 bi t$ 全 $1$ ，其表示的浮点数为： $(1+0.5+...+2^{-23})*2^{127}=(2-2^{-23})*2^{127} \approx 3.4028235*10^{38}$
最小负数：数符为负，阶码最大： $127$ ，尾数最大： $23 bi t$ 全 $1$ ，其表示的浮点数为： $(-1)*(1+0.5+...+2^{-23})*2^{127}=-(2-2^{-23})*2^{127} \approx -3.4028235*10^{38}$
最大负数：数符为负，阶码最小： $- 126$ ，尾数最小： $0$ ，其表示的浮点数为： $-1.0*2^{-126} \approx -1.1754*10^{-38}$
用数轴表示其范围如下所示：
在这里插入图片描述

两个0

对于除了 $0$ 之外的小数，规格化之后的尾数 $s i g ni f i c an d$ 范围永远在 $(0, 1)$ 之间。由于 $0$ 的小数表示没有小数点左侧的 $1$ ，标准规定阶码和尾数为 $0$ 用于表示数字 $0$ 。注意到符号位可以为 $1$ ，表示负数。所以我们有两个 $0$ 。 $32 b t i$ 全 $0$ 表示 $0$ ；符号位为 $1$ ，其余全 $0$ 表示 $- 0$ 。但他们都是 $0$ 。经过下图程序验证， $0 == - 0$ 。

#include <iostream>
#include <cstdio>
union num{float f_num;int32_t field;
};
int main(){std::cout<<"hello,world"<<std::endl;std::cout<<"sizeof(float)=="<<sizeof(float)<<std::endl;num f1;f1.field=0;num f2;f2.field = 0x80000000;std::cout<<"f1 = "<<f1.f_num<<std::endl;std::cout<<"f2 = "<<f2.f_num<<std::endl;if(f1.f_num == f2.f_num)std::cout<<"0 == 0x80000000"<<std::endl;else std::cout<<"0 != 0x80000000" <<std::endl;return 0;
}

环境为 $\ windows$ 下 $v sco d e + min g w 64$ 时，程序输出如下图所示：

在这里插入图片描述
另外，当所有位置全 $0$ 时，按照浮点数公式的严格定义下，其表示的数字应该为 $1.0*2^{0-127}=2^{-127}$ 不为 $0$ 但无限接近于 $0$ ，下面我们会知道阶码 $0$ 表示的非规格化数，不能按照规格化的计算方式来计算其表示的值，标准则规定全 $0$ 表示 $0$ 。

非规格化数字

根据数轴我们知道，正常情况之下标准能够表示的最小正数和最大正数为 $2^{-126}$ 和 $2^{-126}$ 。此时我们想要表示更小的非 $0$ 小数则会超过标准阶码的表示范围引发下溢。从 $0$ 到 $2^{-126}$ 之间没有内容，无法表示。

此时为了减小下溢的概率，标准规定：阶码为0，尾数不为0则表示非规格化数字，其指数默认为-126。其表示的小数计算公式变为： $\color{red}(-1)^S*(significand)*2^{-126}$ 。其中，按照移码的规则阶码为0表示值为 $- 127$ ，但标准规定非规格化数字的阶码默认为 $- 126$ 不变，所有非规格化数字阶码全 $0$ 一样。

此时我们能够表示的最小正数变为：数符为正，阶码为 $0$ ，尾数为 $1$ ，其表示的值为： $2^{-23}*2^{-126}=2^0*2^{-149}=2^{-149}$
非规格化数能够表示的下一个数字：数符为正，阶码为 $0$ ，尾数为 $2$ ，其二进制序列为： $0 b 00000000000000000000010$ ，其表示的值为： $2^{-22}*2^{-126}=2^{-148}=2^1*2^{-149}$
非规格化数能够表示的下一个数字：数符为正，阶码为 $0$ ，尾数为 $3$ ，其二进制序列为： $0 b 00000000000000000000011$ ，其表示的值为： $2^{-22}+2^{-23})*2^{-126}=2^{-148}+2^{-149}=(2^0+2^1)*2^{-149}$
… …
… …
非规格化数能够表示的最后一个数字：数符为正，阶码为 $0$ ，尾数为全 $1$ ，其二进制序列为： $0 b 11111111111111111111111$ ，其表示的值为： $2^{-1}+...+2^{-22}+2^{-23})*2^{-126}=2^{-127}+...+2^{-148}+2^{-149}=(2^{22}+2^{21}+...+2^1+2^0)*2^{-149}$
另外从另一方面考虑这个结果， $2^{-1}+...+2^{-22}+2^{-23})*2^{-126}=(1-2^{-23})*2^{-126}=2^{-126}-2^{-149}$

规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000001$ ，尾数为全 $0$ 其表示的值为： $1.0*2*{1-127}=2^{-126}$

此时，尾数加 $1$ ，表示的小数值加 $2^{-149}$ 。换一种理解方式为从 $0$ 到 $2^{-126}$ 之间的步长为 $\color{red}2^{-149}$ 。尾数从全 $0$ 到全 $1$ ，一共 $2^{23}$ 种取值，我们理解为区间分做 $2^{23}$ 份。具体见下表。

阶码	尾数	真值
0b00000000	0b00000000000000000000000	0
0b00000000	0b00000000000000000000001	$2^{-149}$
0b00000000	0b00000000000000000000010	$2*2^{-149}$
0b00000000	… …	… …
0b00000000	0b11111111111111111111111	$2^{-126}-2^{-149}$

而浮点数最大值能够表示到 $3.4*10^{38}$ ，一直保持这么小的步长必然不行。

正常浮点数

书接上文，我们将揭示为什么浮点数能够表示数据范围如此之大，重点关注每次阶码加 $1$ 之后区间的两个端点和步长的变化。

阶码为 $1$ 的规格化数能够表示的第二个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000001$ ，尾数为 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-23})*2^{1-127}=2^{-126}+2^{-149}$
… …
阶码为 $1$ 的规格化数能够表示的最后一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000001$ ，尾数为全 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-1}+...+2^{-23})*2^{1-127}=2^{-126}+2^{-127}+...+2^{-149}$ 。
阶码为 $2$ 的规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000010$ ，尾数为 $0$ 其表示的值为： $1.0)*2^{2-127}=2^{-125}$

此时，从 $2^{-126}$ 到 $2^{-125}$ 之间步长仍旧为 $\color{red}2^{-149}$ ，区间分做 $2^{23}$ 份。

此时完善表格如下：

阶码	尾数	真值
0b00000000	0b00000000000000000000000	0
0b00000000	0b00000000000000000000001	$2^{-149}$
0b00000000	0b00000000000000000000010	$2*2^{-149}$
0b00000000	… …	… …
0b00000000	0b11111111111111111111111	$2^{-126}-2^{-149}$
0b00000001	0b00000000000000000000000	$2^{-126}$
0b00000001	0b00000000000000000000001	$2^{-126}+2^{-149}$
0b00000001	0b00000000000000000000010	$2^{-126}+2*2^{-149}$
0b00000001	… …	… …
0b00000001	0b11111111111111111111111	$2^{-125}-2^{-149}$
0b00000010	0b00000000000000000000000	$2^{-125}$

阶码为 $2$ 的规格化数能够表示的第二个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000010$ ，尾数为 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-23})*2^{2-127}=2^{-125}+2^0*2^{-148}$
… …
阶码为 $2$ 的规格化数能够表示的最后一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000010$ ，尾数为全 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-1}+...+2^{-23})*2^{2-127}=2^{-125}+2^{-127}+...+2^{-148}$ 。
阶码为3的规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 00000011$ ，尾数为 $0$ 其表示的值为： $1.0)*2^{3-127}=2^{-124}$

此时，从 $2^{-125}$ 到 $2^{-124}$ 之间步长已经变为 $\color{blue}2^{-148}$ 。

此时完善表格如下：

阶码	尾数	真值
0b00000000	0b00000000000000000000000	0
0b00000000	0b00000000000000000000001	$2^{-149}$
0b00000000	0b00000000000000000000010	$2*2^{-149}$
0b00000000	… …	… …
0b00000000	0b11111111111111111111111	$2^{-126}-2^{-149}$
0b00000001	0b00000000000000000000000	$2^{-126}$
0b00000001	0b00000000000000000000001	$2^{-126}+2^{-149}$
0b00000001	0b00000000000000000000010	$2^{-126}+2*2^{-149}$
0b00000001	… …	… …
0b00000001	0b11111111111111111111111	$2^{-125}-2^{-149}$
0b00000010	0b00000000000000000000000	$2^{-125}$
0b00000010	0b00000000000000000000001	$2^{-125}+2^{-148}$
0b00000010	0b00000000000000000000010	$2^{-125}+2*2^{-148}$
0b00000010	… …	… …
0b00000010	0b11111111111111111111111	$2^{-124}-2^{-148}$
0b00000011	0b00000000000000000000000	$2^{-124}$

… …
… …
中间省略掉大部分，我们跳到阶码为 $127$ ，二进制表示为 $0 b 01111111$ ，其表示值为 $0$ 。读者可以猜测，此时区间两端点为多少？
阶码为127的规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 01111111$ ，尾数为 $0$ 其表示的值为： $1.0)*2^{127-127}=2^0=1$ 。
阶码为 $127$ 的规格化数能够表示的第二个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 01111111$ ，尾数为 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-23})*2^{127-127}=2^0+2^{-23}=1+2^{-23}$ 。
… …
阶码为 $127$ 的规格化数能够表示的最后一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 01111111$ ，尾数为全 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-1}+...+2^{-23})*2^{127-127}=2^{0}+2^{-1}+...+2^{-23}$ 。
阶码为128的规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 10000000$ ，尾数为 $0$ 其表示的值为： $1.0)*2^{128-127}=2^{1}=2$

此时，从 $1$ 到 $2$ 之间步长已经变为 $\color{blue}2^{-23}$ 。还是发现不了规律？我们继续看表

阶码	尾数	真值
0b00000000	0b00000000000000000000000	0
0b00000000	0b00000000000000000000001	$2^{-149}$
0b00000000	0b00000000000000000000010	$2*2^{-149}$
… …	… …	… …
0b01111111	0b00000000000000000000000	$1$
0b1111111	… …	… …
0b01111111	0b11111111111111111111111	$1-2^{23}$
0b10000000	0b00000000000000000000000	$2$

… …
… …
中间再省略掉大部分，我们跳到阶码为 $150$ ，二进制表示为 $0 b 10010110$ ，其表示值为 $23$ 。读者可以猜测，此时步长为多少？
阶码为 $150$ 的规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 10010110$ ，尾数为 $0$ 其表示的值为： $1.0)*2^{150-127}=2^{23}$ 。
阶码为 $150$ 的规格化数能够表示的第二个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 01111111$ ，尾数为 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-23})*2^{150-127}=2^{23}+1$ 。
… …
阶码为 $150$ 的规格化数能够表示的最后一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 01111111$ ，尾数为全 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-1}+...+2^{-23})*2^{150-127}=2^{23}+2^{22}+...+2^{0}=2^{24}-1$ 。
阶码为 $151$ 的规格化数能够表示的第一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 10000000$ ，尾数为 $0$ 其表示的值为： $1.0)*2^{151-127}=2^{24}$

此时，从区间 $2^{23}$ 到 $2^{24}$ 之间步长已经变为 $\color{blue}1$ 。 $\color{red}amazing ! ! !$

此时，再问一个问题：阶码为 $151$ 时，步长和区间两端点各为多少？分别是 $2$ 和 $2^{24}, 2^{25}]$
… …
… …
阶码为 $254$ 时，其表示值为 $127$ ，此时步长为 $2^{104}$ ，区间端点变为 $2^{127}, +∞]$ ，无穷大随后详细解释。

至此，我们已经揭示了规律：阶码从1开始，阶码每次加1，步长乘2，区间两端点乘以2。
另外，区间内永远分作 $2^{23}$ 份。这也是为什么，浮点数能够表示 $3.4*10^{38}$ 这么大的数字。

无穷大

书接上文。标准规定，阶码为 $255$ ，尾数为 $0$ ，表示无穷大。数符用来区分正无穷和负无穷。

我们知道，按照移码的规律和标准规定，阶码为 $254$ ，表示值 $127$ 已经为 $32 bi t$ 单精度浮点数能够表示的最大阶码。
阶码为 $254$ 的规格化数能够表示的最后一个数字：数符为正，阶码二进制为 $0 b 11111110$ ，尾数为全 $1$ 其表示的值为： $1.0+2^{-1}+...+2^{-23})*2^{254-127}=2^{127}+2^{126}+...+2^{104}$ 。

此时，再进一步，浮点数能够表示的下一个数应当是阶码为255的规格化数能够表示的第一个数。即：阶码为 $255$ ，尾数为 $0$ 。标准将其规定为无穷大。非常合理。

NaN

无穷大之后再进一步，标准规定阶码为 $255$ ，尾数非 $0$ 为 $\ a \ Number$ 。
读者可通过一些协商/协议/标准来自定义其 $N a N$ 具体类型，例如：尾数为 $1$ ，表示对负数做平方根，尾数为 $2$ ，表示除以 $0$ 的非法操作等等等。

浮点数简单举例

对于一个浮点数二进制序列： $\ 10000001 \ 11100000000000000000000$ ，计算其表示值为： $1)*(1.0+0.5+0.25+0.125)*2^{129-127}=-7.5$

如何表示 $1/3$ ？
$1/3 = 0.333333333...=0.25+0.0625+0.015625+...=1/4+1/16+1/64+1/256+...=2^{-2}+2^{-4}+2^{-8}+...$

二进制小数表示为 $0.010101010101..._{2} *2^0$ ，规格化之后变为： $1.01010101..._2 *2^{-2}$ 。此时转为 $32 bi t$ 标准表示：数符为0，阶码为 $- 2 + 127 = 125 = 0 b 01111101$ ，尾数为： $0 b 01010101010101010101010$ 。
综上， $1/3$ 的浮点数表示为 $\ 01111101 \ 01010101010101010101010$

浮点数一些其余特性

浮点数计算不符合结合律

假设 $x=1.5*10^{38}$ ， $y=-1.5*10^{38}$ ， $z = 1$ ， $x + y + z$ 的结果和 $x + z + y$ 的结果不一致。
验证程序如下所示：

#include <iostream>int main(){float f1=1.5e38,f2=-1.5e38,f3=1.0;std::cout<<"(1.5e38+(-1.5e38))+1.0 = "<<f1+f2+f3<<std::endl;std::cout<<"(1.5e38+1.0)+(-1.5e38) = "<<f1+f3+f2<<std::endl;return 0;
}

程序输出如下所示：
在这里插入图片描述
主要问题在于：浮点数的加法执行流程粗略来讲为：首先要对两个小数统一阶码，阶码统一之后才可以尾数相加，尾数相加之后再重新规格化。这其中 $23 bi t$ 精度的限制必然会导致位的缺失。

浮点数舍入规则

既然尾数位数有限，必然要有舍入的规则来确定多余的位如何处理。浮点数的舍入规则为舍入到偶数。

对于普通小数，例如：2.4则四舍五入为2，2.6则四舍五入为3。对于中间位置，例如：2.5舍入为2，3.5舍入为4。

上述规则是在十进制下的，二进制下同理，以定点小数为例： $11.1_2$ 舍入时考虑到前方为 $11_2$ ，为奇数，则舍入为 $100_2$ 。 $10.1_2$ 舍入时则直接丢弃小数部分，舍入为 $10_2$ 。下标 $2$ 表示二进制。

浮点数与整数之间的相互转换

考虑以下问题：一个整数，强制类型转换为浮点数再转为整数是否还和原来相等？

uint32_t i;
if(i == (uint32_t)(float)i){printf("true!");
}

答案是不全部相等。根据上文的区间分析我们知道，当阶码为 $151$ 时，其表示值为 $24$ ，此时区间端点为 $2^{24}, 2^{25}]$ ，区间步长为 $2$ 。此时我们就定义整数初值为： $2^{24}+1$ ，按照此时 $2$ 的步长浮点数刚好无法表示，此时转换必然存在位丢失情况，而C语言中的浮点数到整数的类型转换仅仅是丢弃全部小数，只取整数： $2^{24}=16,777,216$ 。
程序验证如下所示：

#include <iostream>
int main(){float f10=3.2f,f11=3.5f,f12=3.9f;std::cout<<"(uint32_t)3.2 = "<<(uint32_t)f10<<std::endl;std::cout<<"(uint32_t)3.5 = "<<(uint32_t)f11<<std::endl;std::cout<<"(uint32_t)3.9 = "<<(uint32_t)f12<<std::endl;std::cout<<"-------------------------"<<std::endl;uint32_t target=(1<<24)+1;std::cout<<"(float)(1<<24)+1 = "<<((float)target)<<std::endl;std::cout<<"(uint32_t)(float)(1<<24)+1 = "<<((uint32_t)(float)target)<<std::endl;return 0;
}

程序输出结果如下图所示：
在这里插入图片描述

正如我们猜测的结果一样。

考虑另外问题：一个浮点数，强制类型转换为整数再转为浮点数是否还和原来相等？

float f;
if(f == (float)(uint32_t)f){printf("true!");
}

当然不等。考虑 $1.5$ ，转为整数后变为 $1$ ，浮点数可以表示 $1$ 。故转换之后结果变为 $1$ 。
程序验证如下：

int main(){float f1=1.5f;std::cout<<"(float)(uint32_t)(1.5) = "<<(float)((uint32_t)(f1))<<std::endl;return 0;
}

结果输出如下图所示：
在这里插入图片描述
好！

总结

完结撒花！你已经完全了解计算机中小数表示了。