数据结构初阶：二叉树（一）

树概念及结构

树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点。

除根节点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。

因此， 树是递归定义 的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点 ：度不为 0 的节点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节点

兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4

堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为堂兄弟节点

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；（并查集就是森林）

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

typedef int DataType ;

struct Node

{

struct Node * _firstChild1 ; // 第一个孩子结点

struct Node * _pNextBrother ; // 指向其下一个兄弟结点

DataType _data ; // 结点中的数据域

};

树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

现实中的二叉树：

特殊的二叉树：

1. 满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K ，且结点总数是2^K-1，则它就是满二叉树。 (每一层都是满的)

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（前n-1层是满的，最后一层不一定满，但是从左到右必须连续）

二叉树的性质

性质练习题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

3. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

4. 一棵完全二叉树的节点数位为 531 个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

5. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

答案：

1.B

2.A

3.A

4.B

5.B

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType ;

// 二叉链

struct BinaryTreeNode

{

struct BinTreeNode * _pLeft ; // 指向当前节点左孩子

struct BinTreeNode * _pRight ; // 指向当前节点右孩子

BTDataType _data ; // 当前节点值域

}

// 三叉链

struct BinaryTreeNode

{

struct BinTreeNode * _pParent ; // 指向当前节点的双亲

struct BinTreeNode * _pLeft ; // 指向当前节点左孩子

struct BinTreeNode * _pRight ; // 指向当前节点右孩子

BTDataType _data ; // 当前节点值域

} ；

二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

堆的实现

堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array [] = { 27 , 15 , 19 , 18 , 28 , 34 , 65 , 49 , 25 , 37 };

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

建堆时间复杂度

向下调整建堆的时间复杂度：O(N)

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明 ( 时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果) ：

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。故实际中我们选用向下调整建堆

向上调整建堆的时间复杂度：O(N*logN)

简单理解：

// O(N*logN)
for (int i = 0; i < n; i++)  //插入N个数据，每个数据挪动logN次(因为h=log(N+1))，合计N*logN
{AdjustUp(a, i); //logN
}

其实光看最后一层（占了一半的结点）就知道N/2个数据挪动logN次，即时间复杂度：O(N*logN)

堆的插入

先插入一个 10 到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

堆的代码实现(小堆)

Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;void HeapInit(HP* php);
void HeapDestroy(HP* php);
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
// 规定删除堆顶（根节点）
void HeapPop(HP* php);
HPDataType HeapTop(HP* php);
int HeapSize(HP* php);
bool HeapEmpty(HP* php);void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent);

Heap.c

#include"Heap.h"// 小堆
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}// O(logN)
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newCapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < size){// 假设左孩子小，如果解设错了，更新一下// child+1 < size 即没有右孩子，左孩子是最后一个if (child+1 < size && a[child + 1] < a[child]){++child;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

Test.c

#include"Heap.h"int main()
{int a[] = { 4,6,2,1,5,8,2,9};HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); ++i){HeapPush(&hp, a[i]);}/*int k = 3;while (k--){printf("%d\n", HeapTop(&hp));HeapPop(&hp);}*/while (!HeapEmpty(&hp)){printf("%d ", HeapTop(&hp));HeapPop(&hp);}printf("\n");return 0;
}

堆的应用

堆排序（选择排序）

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

例如：如果排升序，则建大堆，然后交换完进行向下调整

代码：

// 升序：建大堆
void HeapSort(int* a, int n)
{// 建大堆// O(N*logN)/*for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}*/// O(N)for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}//O(N*logN),每次都从根节点开始向下调整高度次int end = n - 1;while (end > 0)    {Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0); --end;}
}

TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前 10 名、世界 500 强、富豪榜、游戏中前 100 的活跃玩家等。

对于 Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 ( 可能数据都不能一下子全部加载到内存中) 。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前 k 个最大的元素，则建小堆

前 k 个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余 N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。

例如：求数据集合中前 K 个最大的元素

void CreateNDate()
{// 造数据int n = 10000000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand()+i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}void PrintTopK(const char* file, int k)
{FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}// 建一个k个数小堆int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minheap == NULL){perror("malloc error");return;}// 读取前k个，建小堆for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);AdjustUp(minheap, i);}int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){if (x > minheap[0]){minheap[0] = x;AdjustDown(minheap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", minheap[i]);}printf("\n");free(minheap);fclose(fout);
}int main()
{CreateNDate();PrintTopK("data.txt", 5);return 0;
}