2024年4月13日美团春招实习试题【第四题:乘积因子数】-题目+题解+在线评测【二分】

题目描述：
- 输入描述
- 输出描述
- 样例
解题思路一：python
解题思路二：c++
解题思路三：0

题目描述：

塔子哥拿到了一个数组，她有q次查询，每次询问一个区间内所有元素的乘积有多少因子。你能帮帮她吗?

注:由于数组元素过多，所以是按连续段的方式给定。例如，[1,1,2,3,3,3]有2个1，1个2，3个3，因此表示为<2,1>,<1,2>,< 3,3>。

输入描述

第一行输入两个正整数n,m，代表数组的大小，以及连续段的数量。接下来的m行，每行输入两个正整数 $u_i,v_i$ ，代表一段区间内有 $v_i$ 个 $u_i$

接下来的一行输入一个正整数q，代表询问次数。接下来的q行，每行输入两个正整数l,r，代表询问的是第l个数到第r个数的乘积的因子数量

$1\le n\le 10^{14}$

$1\le m,q\le 10^5$

$1\le u\_i\le 10$

$1\le v\_i\le 10^9$

$1\le l,r\le n$

保证所有的 $v_i$ 之和恰好等于n

输出描述

输出q行，每行输出一个整数，代表最终的乘积因子数量。由于答案可能过大，请对10⁹+7取模

样例

输入

输出

2
8

OJ链接：
https://codefun2000.com/p/P1822

乘积因子数量是指一个数的所有因子（包括1和它本身）的个数。要计算一个数的乘积因子数量，可以按照以下步骤进行：

将这个数分解成质因数的乘积。质因数是指不能再进行因数分解的素数，比如2、3、5、7等。
对每个质因数的指数加1，然后将它们相乘即可得到乘积因子数量。
举个例子，我们来计算数值36的乘积因子数量：

首先，将36分解成质因数的乘积：36=2² ×3 ²
对每个质因数的指数加1：(2+1)×(2+1)=3×3=9
所以，36的乘积因子数量为9个。

解题思路一：python

在这里插入图片描述

# from bisect import bisect_left
n, m = map(int, input().split())
mod = 1000000007table = {1: [0, 0, 0, 0],2: [1, 0, 0, 0],3: [0, 1, 0, 0],4: [2, 0, 0, 0],5: [0, 0, 1, 0],6: [1, 1, 0, 0],7: [0, 0, 0, 1],8: [3, 0, 0, 0],9: [0, 2, 0, 0],10: [1, 0, 1, 0]
}index = [0 for i in range(1 + m)]
array = [0 for i in range(1 + m)]
pre = [[0 for i in range(4)] for j in range(1 + m)]for i in range(1, m + 1):u, v = map(int, input().split())array[i] = uu_list = table[u]for j in range(4):pre[i][j] = (pre[i - 1][j] + u_list[j] * v % mod) % modindex[i] = index[i - 1] + vdef check(index, m, x):l = 1r = m + 1while l < r:mid = (l + r) >> 1# if index[mid] == x:#     return midif index[mid] < x:l = mid + 1else:r = midreturn lq = int(input())
for i in range(q):l, r = map(int, input().split())ll = check(index, m, l)rl = check(index, m, r)# print(ll, rl)ans = 1lu_list = table[array[ll]]ru_list = table[array[rl]]for j in range(4):if ll == rl:ans = ((r - l + 1) * lu_list[j] % mod + 1) * ans % modelse:tmp = (index[ll] - l + 1) % mod * lu_list[j] % modif ll < rl:tmp += (r - index[rl - 1]) % mod * ru_list[j] % modif ll + 1 < rl:tmp = (tmp + (pre[rl - 1][j] - pre[ll][j])) % mod# tmp = (tmp % mod + mod) % modans = (tmp + 1) * ans % modprint(ans)

时间复杂度：O(qlogn)
空间复杂度：O(m)前缀和

解题思路二：c++

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
#define endl '\n'int main()
{cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);LL n, m, q;cin >> n >> m;const int mod = 1e9 + 7;vector<int> primes = {2, 3, 5, 7};vector<LL> s(m + 1);vector<int> a(m + 1);vector<array<LL, 4>> pre = vector<array<LL, 4>>(m + 1, {0});auto get = [&](int x) -> vector<int> {vector<int> cnt(4, 0);for (int j = 0;j < 4;++ j) {while(x % primes[j] == 0) {x /= primes[j];++ cnt[j];}}return cnt;};for (int i = 1; i <= m; ++i){cin >> a[i] >> s[i];pre[i] = pre[i - 1];vector<int> cnt = get(a[i]);for (int j = 0;j < 4;++ j) {pre[i][j] = (pre[i][j] + cnt[j] * s[i]) % mod;}s[i] += s[i - 1];}cin >> q;while (q --) {LL l, r;cin >> l >> r;int L = lower_bound(s.begin(), s.end(), l) - s.begin();int R = lower_bound(s.begin(), s.end(), r) - s.begin();vector<int> cnt(4, 0);vector<int> cntl = get(a[L]), cntr = get(a[R]);LL ans = 1;for (int j = 0;j < 4;++ j) {if (L == R) {ans = ((r - l + 1) * cntl[j] % mod + 1) * ans % mod;} else {LL t = (s[L] - l + 1) % mod * cntl[j] % mod;if (L < R) {t += (r - s[R - 1]) % mod * cntr[j] % mod;}if (L + 1 < R) {t += pre[R - 1][j] - pre[L][j];}t = (t % mod + mod) % mod;ans = (t + 1) * ans % mod;}}cout << ans << endl;}
}