电机控制专题(一)——最大转矩电流比MTPA笔记

理论推导部分

记转矩角（电流矢量与d轴夹角）为$\gamma$，则dq轴电流可以表示如下：
$i_d=I_{s}cos\gamma$ (1)
$i_q=I_{s}sin\gamma$ (2)
其中$I_s$为定子电流幅值。

dq轴下PMSM的转矩方程为：
$T_e=\frac{3}{2}{p}_n{i}_q\psi +(L_d-L_q)i_d{i}_q$(3)
其中$p_n$为极对数，$\psi$为永磁体磁链，$L_d,L_q$为分别为dq轴的电感

将式(1)(2)代入式(3)并化简可得
$T_e=\frac{3}{2}{p}_n{I}_s\psi sin\gamma +\frac{3}{4}{p}_n{I}_s^2(L_d-L_q)sin2\gamma$ (4)

MTPA可以从两个角度理解

1. 最小的电流产生最大的电磁转矩
2. 同等大小的定子电流产生最大的电磁转矩

因此从第二个角度理解MTPA，就变成了求(4)式的在$I_s$恒定，以转矩角$\gamma$为变量的极值问题。

对(4)式求偏导并另其等于0，化简可得：
$\frac{\partial T_e}{\partial \gamma }=2I_s(L_d-L_q)co{s}^2\gamma +\psi cos\gamma -I_s(L_d-L_q)=0$ (5)

(5)式是一个一元二次方程，利用求根公式可解得
$cos{\gamma }_1=\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)},cos{\gamma }_2=\frac{-\psi -\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)}$ (6)

求解得到的两个转矩角究竟哪一个是我们想要的呢？

容易注意到 $\psi <\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q{)}^2}$，且绝大多数的IPMSM的d轴电感小于q轴电感。因此$cos{\gamma }_1<0,cos{\gamma }_2>0$。

MTPA就是要利用电机的凸极效应，合理分配定子电流一部分作为$i_d$，另一部分作为$i_q$，$i_d$可以用于产生磁阻转矩（电磁转矩式3等式右边的第二项）。因此d轴电流只能是负的。

那么由式(1)可知$cos\gamma <0$。

因此真正能实现MTPA的转矩角为
$\gamma =arccos(\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4I_s(L_d-L_q)})$ (7)

此时的d轴电流和q轴电流可计算得
$i_d=I_{s}cos\gamma =\frac{-\psi +\sqrt{{\psi }^2+8I_s^2(L_d-L_q)}}{4(L_d-L_q)}$
$i_q=\sqrt{I_s^2-i_d^2}$

值得一提的是，转速环的输出应当是转矩指令值，而转矩和电流存在一定的线性关系，因此可以直接作为电流指令值。最简单的矢量控制$i_0\equiv 0$中，转速环的输出直接作为q轴电流的指令值；而在MTPA中，转速环输出的转矩指令值，应当由整个全部的定子电流来提供，即转速环的输出为定子电流幅值指令值。