三斜求积术 To 海伦公式 ← 三角形面积

news/2025/4/3 12:30:07/文章来源:https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/137794769

【知识点：三斜求积术】
所谓秦九韶的三斜求积术，即如果已知三角形的边长a，b，c，可求得该三角形的面积为：
$\sqrt{\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2)}$

而由三斜求积术可推得海伦公式。过程如下：
$\sqrt{\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2)} =\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2})(\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2})} =\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{(a+b)^2-c^2}{2})(\frac{c^2-(a-b)^2}{2})} =\sqrt{\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
其中， $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$

上面推导公式的 Latex 代码为：

\sqrt{\frac{1}{4}(a^{2}b^{2}-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2)} =\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2})(\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2})} =\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{(a+b)^2-c^2}{2})(\frac{c^2-(a-b)^2}{2})} =\sqrt{\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

【参考文献】
https://zhuanlan.zhihu.com/p/76000009

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