算法——马尔可夫与隐马尔可夫模型

HMM(Hidden Markov Model)是一种统计模型,用来描述一个隐含未知量的马尔可夫过程(马尔可夫过程是一类随机过程,它的原始模型是马尔科夫链),它是结构最简单的动态贝叶斯网,是一种著名的有向图模型,主要用于时序数据建模。在语音识别、自然语言处理等领域有广泛应用

Background requirements:

1、基础的概率学知识

2、动态规划是加分项

3、有实际运用Markov Model的应用会帮助学以致用

NOTE:

对于下面的介绍,我们依据这个节奏,参考。

1)指定模型参数

2)如何估计这些参数 【这个没有进行介绍】

3)利用这些参数进行预测

这三大类适用于任何统计机器学习模型

马尔可夫模型(Markov Model)是一种统计模型,广泛应用在语音识别,词性自动标注,音字转换,概率文法、序列分类等各个自然语言处理等应用领域。经过长期发展,尤其是在语音识别中的成功应用,使它成为一种通用的统计工具。到目前为止,它一直被认为是实现快速精确的语音识别系统的最成功的方法之一。

二、马尔科夫模型的案例之一——天气预报
下面是一个马尔科夫模型在天气预测方面的简单例子。如果第一天是雨天,第二天还是雨天的概率是0.8,是晴天的概率是0.2;如果第一天是晴天,第二天还是晴天的概率是0.6,是雨天的概率是0.4。问:如果第一天下雨了,第二天仍然是雨天的概率是多少?,第十天是晴天的概率是多少?;经过很长一段时间后雨天、晴天的概率分别是多少?

首先构建转移概率矩阵,由于这里每一天的状态就是晴天或者是下雨两种情况,所以矩阵是2x2的,如下:

雨天晴天
0.80.4雨天
0.20.6晴天

注意:每列和为1,分别对雨天、晴天,这样构建出来的就是转移概率矩阵了。如下:

在这里插入图片描述

假设初始状态第一天是雨天,我们记为

在这里插入图片描述

这里【1,0】分别对于雨天,晴天。

初始条件:第一天是雨天,第二天仍然是雨天(记为P1)的概率为:

P1 = AxP0

得到P1 = 【0.8,0.2】,正好满足雨天~雨天概率为0.8,当然这根据所给条件就是这样。

下面计算第十天(记为P9)是晴天概率:
在这里插入图片描述

得到,第十天为雨天概率为0.6668,为晴天的概率为0.3332。

下面计算经过很长一段时间后雨天、晴天的概率,显然就是下面的递推公式了:

在这里插入图片描述

2.2 递推公式的改进

虽然上面构造了一个递推公式,但是直接计算矩阵A的n次方是很难计算的,我们将A进行特征分解(谱分解)一下,得到:

在这里插入图片描述

现在递推公式变成了下面的样子:

在这里插入图片描述

显然,当n趋于无穷即很长一段时间以后,Pn = 【0.67,0.33】。即雨天概率为0.67,晴天概率为0.33。并且,我们发现:初始状态如果是P0 =【0,1】,最后结果仍然是Pn = 【0.67,0.33】。这表明,马尔科夫过程与初始状态无关,跟转移矩阵有关。

一文带你了解隐马尔可夫模型(含详细推导) - 知乎

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