【数据结构与算法】递推

来源:《信息学奥赛一本通》

所谓递推,是指从已知的初始条件出发,依据某种递推关系,逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。其中初始条件或是问题本身已经给定,或是通过对问题的分析与化简后确定。

  • 从已知条件出发逐步推到问题结果,此种方法叫顺推。
  • 从问题出发逐步推到已知条件,此种方法叫逆推。

无论顺推还是逆推,其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算,充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。

递推法是一种重要的数学方法,在数学的各个领域中都有广泛的运用,也是计算机用于数值计算的一个重要算法。

递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系(即递推关系)。递推算法避开了求通项公式的麻烦,把一个复杂的问题的求解,分解成了连续的若干步简单运算。一般说来,可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

可用递推算法求解的题目一般有以下两个特点:
1、问题可以划分成多个状态;
2、除初始状态外,其它各个状态都可以用固定的递推关系式来表示。
在我们实际解题中,题目不会直接给出递推关系式,而是需要通过分析各种状态,找出递推关系式。

引入——斐波那契数列

满足 F 1 = F 2 = 1 , F n = F n − 1 + F n − 2 F_1=F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} F1=F2=1,Fn=Fn1+Fn2的数列称为斐波那契数列(Fibonacci):1,1,2,3,5,8,13,21,34…

求此数列的第n项(n>=3)

【算法分析】
f 1 = 1 ( n = 1 ) ; f 2 = 1 ( n = 2 ) ; f n = f n − 1 + f n − 2 ( n > = 3 ) f_1=1(n=1); f_2=1(n=2); f_n=f_{n-1}+f_{n-2}(n>=3) f1=1(n=1);f2=1(n=2);fn=fn1+fn2(n>=3)
【参考程序】

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){int f0=1,f1=1,f2;int n;cin>>n;for(int i=3;i<=n;i++){f2=f0+f1;f0=f1;f1=f2;}cout<<f2<<endl;return 0;
}

例1.上楼梯

楼梯有n个台阶,上楼可以一步上一阶,也可以一步上两阶。一共有多少种上楼的方法?

这是一道计数问题。在没有思路时,不妨试着找规律。n=5时,一共有8种方法:

5=1+1+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=1+2+2
5=2+1+1+1
5=2+2+1
5=2+1+2

其中,有5种方法第一步走了1阶,3种方法第一步走了2阶。我们据此进行分析与推断。

【算法分析】

假设f(n)为n个台阶的走法总数,把n个台阶的走法分成两类:
第一类:第一步走1阶,剩下还有n-1阶要走,有f(n-1)种方法。
第二类:第一步走2阶,剩下还有n-2阶要走,有f(n-2)种方法。
这样,就得到了递推式:f(n)=f(n-1)+f(n-2),不要忘记边界情况:f(1)=1,f(2)=2
把f(n)的前几项列出:1,2,3,5,8...你发现了什么?

例2.兔子繁殖

把雌雄各一的一对新兔子放入养殖场中。每只雌兔在出生两个月以后,每月产雌雄各一的一对新兔子。试问第n个月后养殖场中共有多少对兔子。

还是先找找规律。

第1个月:一对新兔子r1。用小写字母表示新兔子。
第2个月:还是一对新兔子,不过已经长大,具备生育能力了,用大写字母R1表示。
第3个月:R1生了一对新兔子r2,一共2对。
第4个月:R1又生一对新兔子r3,一共3对。另外,r2长大了,变成R2
第5个月:R1和R2各生一对,记为r4和r5,共5对。此外,r3长成R3。
第6个月:R1、R2和R3各生一对,记为r6~r8,共8对。此外,r4和r5长大。
......

把这些数排列起来:1,1,2,3,5,8,……,事实上,可以直接推导出来递推关系:f(n)=f(n-1)+f(n-2)
第n个月的兔子由两部分组成,一部分是上个月就有的老兔子f(n-1),一部分是这个月出生的新兔子f(n-2)(第n个月时具有生育能力的兔子数就等于第n-2个月兔子总数)。
根据加法原理,f(n)=f(n-1)+f(n-2)

例3.骨牌问题

有2 × n的一个长方形方格,用一个1 × 2的骨牌铺满方格。
编写一个程序,试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。

n=2

骨牌1

n=3

骨牌2

【算法分析】

(1)面对上述问题,如果思考方法不恰当,要想获得问题的解答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。
(2)当n=1时,只能是一种铺法,铺法总数有示为x1=1。
(3)当n=2时:骨牌可以两个并列竖排,也可以并列横排,再无其他方法,如图所示,因此,铺法总数表示为x2=2;
(4)当n=3时:骨牌可以全部竖排,也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌,则需要在方格中排列两个横排骨牌(无重复方法),若已经在方格中排列两个横排骨牌,则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如图,再无其他排列方法,因此铺法总数表示为x3=3。
由此可以看出,当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。
(5)推出一般规律:对一般的n,要求x(n)可以这样来考虑,若第一个骨牌是竖排列放置,剩下有n-1个骨牌需要排列,这时排列方法数为x(n-1);若第一个骨牌是横排列,整个方格至少有2个骨牌是横排列(1*2骨牌),因此剩下n-2个骨牌需要排列,这是骨牌排列方法数为x(n-2)。从第一骨牌排列方法考虑,只有这两种可能,所以有:
x(n)=x(n-1)+x(n-2) (n>2)
x1=1
x2=2

x(n)=x(n-1)+x(n-2)就是问题求解的通项公式

【参考程序】

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){int n,i,a[101];cin>>n;//输入骨牌数 a[1]=1;a[2]=2;for(i=3;i<=n;i++){a[i]=a[i-1]+a[i-2];}cout<<a[i-1]<<endl;return 0;
}

例4.数塔问题

如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径,使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。

数塔问题

1、 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走;
2、 三角形行数小于等于100;
3、 三角形中的数字为0,1,…,99;

测试数据通过键盘逐行输入,如上例数据应以如下所示格式输入:

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

【算法分析】

  此题解法有多种,从递推的思想出发,设想,当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时,我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进,为此,我们可以采用倒推的手法,设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值,则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j],a[i][j]+a[i+1][j+1]},a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。

【参考程序】

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){int n,i,j,a[101][101];cin>>n;for (i=1;i<=n;i++)for (j=1;j<=i;j++)cin>>a[i][j];                             //输入数字三角形的值for (i=n-1;i>=1;i--)for (j=1;j<=i;j++){if (a[i+1][j]>=a[i+1][j+1])  a[i][j]+=a[i+1][j];     //路径选择else  a[i][j]+=a[i+1][j+1];} cout<<a[1][1]<<endl; 
}

例5.位数问题

【问题描述】
在所有的N位数中,有多少个数中有偶数个数字3?由于结果可能很大,你只需要输出这个答案对12345取余的值。
【输入格式】
读入一个数N
【输出格式】
输出有多少个数中有偶数个数字3。
【输入样例】
2
【输出样例】
73
【数据规模】
1<=N<=1000
【样例说明】
在所有的2位数字,包含0个3的数有72个,包含2个3的数有1个,共73个

【算法分析】

方法一:排列组合(但需要运用动态规划)。
可以列出公式,在n个格子中放x个3(其中x为偶数,包括0).。
c(n,x)*9 ^ (n-x) - c(n-1,x)*9 ^ (n-x-1) 含义为在n个格子中取x个3,且不考虑第一位的特殊情况为c(n,x)*9^(n-x)。
而第一位为0的情况,为c(n-1,x)*9^(n-x-1),两者减下,就为答案。
方法二:递推
考虑这种题目,一般来说都是从第i-1位推导第i位,且当前位是取偶数还是取奇数的。
恍然大悟.可以用f[i][0]表示前i位取偶数个3有几种情况,f[i][1]表示前i位取奇数个3有几种情况。
则状态转移方程可以表示为:f[i][0]=f[i-1][0]*9+f[i-1][1];f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1]*9;
边界条件:f[1][1]=1;f[1][0]=9;

【参考程序】

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int f[1001][2],n,i,x;cin>>n;f[1][1]=1;f[1][0]=9;                        for(i=2;i<=n;i++) {   x=f[1][0];if(i==n)x--;f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345;f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345;   }cout<<f[n][0]; return 0;
}

五种典型的递推关系

Ⅰ.Fibonacci数列

在所有的递推关系中,Fibonacci数列应该是最为大家所熟悉的。在最基础的程序设计语言Logo语言中,就有很多这类的题目。而在较为复杂的Basic、Pascal、C语言中,Fibonacci数列类的题目因为解法相对容易一些,逐渐退出了竞赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值,恰恰相反,一些此类的题目还是能给我们一定的启发的。

Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。问题的提出:有雌雄一对兔子,假定过两个月便可繁殖雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子?解:设满x个月共有兔子F(x)对,其中当月新生的兔子数目为N(x)对。第x-1个月留下的兔子数目设为F(x-1)对。则:F(x)=N(x)+F(x-1)N(x)=F(x-2) (即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了)
∴ F(x)=F(x-1)+F(x-2) 边界条件:F0=0,F1=1由上面的递推关系可依次得到F2=F1+F0=1,F3=F2+F1=2,F4=F3+F2=3,F5=F4+F3=5,……。

Fabonacci数列常出现在比较简单的组合计数问题中,例如以前的竞赛中出现的“骨牌覆盖”问题。在优选法中,Fibonacci数列的用处也得到了较好的体现。

Ⅱ.Hanoi塔问题

问题的提出:Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时,这n个圆盘由大到小依次套在a柱上,如图所示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上:

汉诺塔

(1)一次只能移一个圆盘;
(2)圆盘只能在三个柱上存放;
(3)在移动过程中,不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上,总计需要移动多少个盘次?

解:设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然,当n=1时,只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了,故h1=1。当n=2时,先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去;然后将大盘子从a柱移到c 柱;最后,将b柱上的小盘子移到c柱上,共记3个盘次,故h2=3。以此类推,当a柱上有n(n>=2)个盘子时,总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱上,然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上;再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上;总共移动h(n-1)+1+h(n-1)个盘次。∴h(n)=2h(n-1)+1 边界条件:h1=1

Ⅲ.平面分割问题

问题的提出:设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

平面分割

从这些式子中可以看出a(n)-a(n-1)=2(n-1)。当然,上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论,它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成a(n-1)个区域后,第n-1条曲线每与曲线相交一次,就会增加一个区域,因为平面上已有了n-1条封闭曲线,且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点,且不会与任两条曲线交于同一点,故平面上一共增加2(n-1)个区域,加上已有的a(n-1)个区域,一共有a(n-1)+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是a(n)=a(n-1)+2(n-1),边界条件是a1=1

平面分割问题是竞赛中经常触及到的一类问题,由于其灵活多变,常常会感到棘手。

Ⅳ.Catalan数

Catalan数首先是由Euler在精确计算对凸n边形的不同的对角三角形剖分的个数问题时得到的,它经常出现在组合计数问题中。
   问题的提出:在一个凸n边形中,通过不相交于n边形内部的对角线,把n边形拆分成若干三角形,不同的拆分数目用h(n)表示,h(n)即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案(图3-14),故h5=5。求对于一个任意的凸n边形相应的h(n)。

卡特兰数1

卡特兰数2

Catalan数是比较复杂的递推关系,尤其在竞赛的时候,选手很难在较短的时间里建立起正确的递推关系。当然,Catalan数类的问题也可以用搜索的方法来完成,但是,搜索的方法与利用递推关系的方法比较起来,不仅效率低,编程复杂度也陡然提高。

【数据结构与算法】栈中的“栈与卡特兰数”有相关资料及习题

Ⅴ.第二类Stirling数

在五类典型的递推关系中,第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此,我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。
【定义】n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数用S(n,m)表示,称为第二类Stirling数。
下面就让我们根据定义来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。

解:设有n个不同的球,分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn,bn的放法有以下两种:①bn独自占一个盒子;那么剩下的球只能放在m-1个盒子中,方案数为S(n-1,m-1);②bn与别的球共占一个盒子;那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中,然后再将球bn可以放入其中一个盒子中,方案数为mS(n-1,m)。
综合以上两种情况,可以得出第二类Stirling数定理:
S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m>=1)
边界条件可以由定义2推导出:
S(n,0)=0;S(n,1)=1;S(n,n)=1;S(n,k)=0(k>n)。
注:原文中S有下标2,这里为了表示方便删去了。

第二类Stirling数在竞赛中较少出现,但在竞赛中也有一些题目与其类似,甚至更为复杂。读者不妨自己来试着建立其中的递推关系。

递家族除了递推,还有大名鼎鼎的递归

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/818381.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

计算机网络——应用层(3)电子邮件

电子邮件 1、概述&#xff1a; 电子邮件是使用电子设备交换的邮件及其方法。 优点&#xff1a;使用方便&#xff0c;传递迅速&#xff0c;费用低廉&#xff0c;可传送多种信息 重要标准&#xff1a; 简单邮件发送协议&#xff1a;SMTP互联网文本报文格式通用互联网邮件扩充…

leetcode717-1-bit and 2-bit Characters

题目 有两种特殊字符&#xff1a; 第一种字符可以用一比特 0 表示 第二种字符可以用两比特&#xff08;10 或 11&#xff09;表示 给你一个以 0 结尾的二进制数组 bits &#xff0c;如果最后一个字符必须是一个一比特字符&#xff0c;则返回 true 。 示例 1: 输入: bits [1, …

浏览器工作原理与实践--跨站脚本攻击(XSS):为什么Cookie中有HttpOnly属性

通过上篇文章的介绍&#xff0c;我们知道了同源策略可以隔离各个站点之间的DOM交互、页面数据和网络通信&#xff0c;虽然严格的同源策略会带来更多的安全&#xff0c;但是也束缚了Web。这就需要在安全和自由之间找到一个平衡点&#xff0c;所以我们默认页面中可以引用任意第三…

Linux--主函数的三个参数

主函数的三个参数 1).主函数的三个参数的含义: argc:主函数的参数个数 argv:主函数的参数内容 envp:环境变量; #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <unistd.h> int main(int argc,char *argv[],char *envp[]) { int i0;printf("argc%d…

web前端框架设计第四课-条件判断与列表渲染

web前端框架设计第四课-条件判断与列表渲染 一.预习笔记 1.条件判断 1-1&#xff1a;v-if指令&#xff1a;根据表达式的值来判断是否输出DOM元素 1-2&#xff1a;template中使用v-if 1-3&#xff1a;v-else 1-4&#xff1a;v-else-if 1-5&#xff1a;v-show&#xff08;不支…

【快捷部署】017_MongoDB(6.0.14)

&#x1f4e3;【快捷部署系列】017期信息 编号选型版本操作系统部署形式部署模式复检时间017MongoDB6.0.14Ubuntu 20.04apt单机2024-04-11 一、快捷部署 #!/bin/bash ################################################################################# # 作者&#xff1a;…

SQL注入sqli_labs靶场第十七题

B站教学视频很详细 【sql注入之sqli-labs系列教程(less11-17)】sqli-labs_33_less17_哔哩哔哩_bilibili 我将SQL语句在页面中显示&#xff0c;以便更深入学习。 1.寻找注入点 修改密码的一个页面。 输入正确的账号密码&#xff0c;可以看到&#xff0c;账号为admin&#xf…

python内置函数dir()、divmod()详解

dir() 函数是 Python 中的一个强大的内置函数&#xff0c;它用于列出指定对象的有效属性和方法。它可以不带参数使用&#xff0c;以列出当前作用域中的名称&#xff0c;或者带一个对象作为参数&#xff0c;以列出该对象的属性和方法。让我们来看看它的用法和示例&#xff1a; …

PHP Storm 2024.1使用

本文讲的是phpstorm 2024.1最新版本激活使用教程&#xff0c;本教程适用于windows操作系统。 1.先去idea官网下载phpstorm包&#xff0c;我这里以2023.2最新版本为例 官网地址&#xff1a;https://www.jetbrains.com/zh-cn/phpstorm/ 2.下载下来后安装&#xff0c;点下一步 …

Qt5 编译oracle数据库驱动

库文件 1、Qt源码目录&#xff1a;D:\Qt5\5.15.2\Src\qtbase\src\plugins\sqldrivers\oci 2、oracle客户端SDK: https://www.oracle.com/database/technologies/instant-client/winx64-64-downloads.html 下载各版本中的如下压缩包&#xff0c;一定要版本相同的 将两个压缩包…

第三十九节 Java Applet基础

applet是一种Java程序。它一般运行在支持Java的Web浏览器内。因为它有完整的Java API支持,所以applet是一个全功能的Java应用程序。 如下所示是独立的Java应用程序和applet程序之间重要的不同&#xff1a; Java中applet类继承了 java.applet.Applet类Applet类没有定义main()&…

使用 git 提交项目到 github

文章推荐&#xff1a;https://zhuanlan.zhihu.com/p/193140870 连接失败&#xff1a;https://zhuanlan.zhihu.com/p/521340971 分支出错&#xff1a;https://blog.csdn.net/gongdamrgao/article/details/115032436

性能升级,INDEMIND机器人AI Kit助力产业再蜕变

随着机器人进入到越来越多的生产生活场景中&#xff0c;作业任务和环境变得更加复杂&#xff0c;机器人需要更精准、更稳定、更智能、更灵敏的自主导航能力。 自主导航技术作为机器人技术的核心&#xff0c;虽然经过了多年发展&#xff0c;取得了长足进步&#xff0c;但在实践…

Vue3---基础5(computed和watch、watchEffect)

computed 计算属性 代码示例 <template><div class"person"><div>姓&#xff1a;<input type"text" v-model"firstName"></div><div>名&#xff1a;<input type"text" v-model"lastName…

Python的国际化和本地化【第162篇—国际化和本地化】

&#x1f47d;发现宝藏 前些天发现了一个巨牛的人工智能学习网站&#xff0c;通俗易懂&#xff0c;风趣幽默&#xff0c;忍不住分享一下给大家。【点击进入巨牛的人工智能学习网站】。 随着全球化的发展&#xff0c;多语言支持在软件开发中变得越来越重要。Python作为一种流行的…

Spark产生小文件的原因及解决方案

一、小文件的定义 Hadoop集群中的文件都是以块&#xff08;Block&#xff09;的形式存储在分布式文件系统&#xff08;HDFS&#xff09;中的&#xff0c;而Block的默认大小设置随着Hadoop的版本迭代经历了64MB、128MB、256MB&#xff0c;其大小实际受制于磁盘/网络的传输速率。…

EasyRecovery数据恢复软件2024百度云网盘下载链接

EasyRecovery数据恢复软件是一款功能强大的数据恢复工具&#xff0c;它能够帮助用户从各种存储设备中恢复丢失或误删除的文件数据。无论是由于意外删除、格式化、病毒攻击还是其他原因导致的数据丢失&#xff0c;EasyRecovery都能提供有效的解决方案。 该软件支持多种存储介质…

Java全栈开发前端+后端(全栈工程师进阶之路)【介绍】

Java全栈开发前端后端&#xff08;全栈工程师进阶之路&#xff09; 本次课程&#xff0c;从0到1讲解全栈开发 前端到后端&#xff0c;解决您的开发难题 课程如下&#xff1a; 第1阶段-课程介绍与环境搭建 前置课程&#xff1a; 1、HTML 2、JavaScript 3、CSS 4、Java基…

Redis实现延迟任务的几种方案

&#x1f3f7;️个人主页&#xff1a;牵着猫散步的鼠鼠 &#x1f3f7;️系列专栏&#xff1a;Java全栈-专栏 &#x1f3f7;️个人学习笔记&#xff0c;若有缺误&#xff0c;欢迎评论区指正 目录 1.前言 2.Redis如何实现延迟任务&#xff1f; 3.代码实现 3.1. 过期键通知事…

针对MaxCompute优化案例分享

声明 原文来源&#xff1a;微信公众号&#xff1a;阿里云开发者 前言 MaxCompute 是阿里巴巴集团推出的一种大数据计算平台&#xff0c;用于处理海量数据和进行数据分析。它提供了高可靠性、高扩展性和高性能的数据处理能力&#xff0c;支持 SQL 查询、MapReduce 计算和机器…