528.奶酪
| 528. 奶酪 - AcWing题库 |
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| 难度：简单 |
| 时/空限制：1s / 128MB |
| 总通过数：3800 |
| 总尝试数：10480 |
| 来源： NOIP2017提高组 |
| 算法标签 并查集BFSDFS |
题目内容
现有一块大奶酪，它的高度为 ℎ，它的长度和宽度我们可以认为是无限大的，奶酪中间有许多半径相同的球形空洞。
我们可以在这块奶酪中建立空间坐标系，在坐标系中，奶酪的下表面为 z=0，奶酪的上表面为 z=h。
现在，奶酪的下表面有一只小老鼠 Jerry，它知道奶酪中所有空洞的球心所在的坐标。
如果两个空洞相切或是相交，则 Jerry 可以从其中一个空洞跑到另一个空洞
特别地，如果一个空洞与下表面相切或是相交，Jerry 则可以从奶酪下表面跑进空洞；如果一个空洞与上表面相切或是相交，Jerry 则可以从空洞跑到奶酪上表面。
位于奶酪下表面的 Jerry 想知道，在不破坏奶酪的情况下，能否利用已有的空洞跑到奶酪的上表面去?
空间内两点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2) 的距离公式如下：
d i s t ( P 1 , P 2 ) = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 + ( z 1 − z 2 ) dist(P_{1},P_{2})=\sqrt{ (x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2+(z_{1}-z_{2}) } dist(P1,P2)=(x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)
输入格式
每个输入文件包含多组数据。
输入文件的第一行，包含一个正整数 T，代表该输入文件中所含的数据组数。
接下来是 T 组数据，每组数据的格式如下：
第一行包含三个正整数 n，ℎ 和 r，两个数之间以一个空格分开，分别代表奶酪中空洞的数量，奶酪的高度和空洞的半径。
接下来的 n 行，每行包含三个整数 x、y、z，两个数之间以一个空格分开，表示空洞球心坐标为 (x,y,z)。
输出格式
输出文件包含 T 行，分别对应 T 组数据的答案，如果在第 i 组数据中，Jerry 能从下表面跑到上表面，则输出 Yes，如果不能，则输出 No。
数据范围
1≤n≤1000,
1≤h,r≤10^9,
T≤20,
坐标的绝对值不超过10^9
输入样例：
3
2 4 1
0 0 1
0 0 3
2 5 1
0 0 1
0 0 4
2 5 2
0 0 2
2 0 4
输出样例：
Yes
No
Yes
题目解析
有一块大奶酪，是一个三维问题，有上边界和下边界，左右两边是无限长的，下边界的坐标是z=0，上边界的坐标是z=h
其中有很多的洞，所有的球的半径都是固定的，是r
有可能给到上边界上边，这时认为这个洞不存在
如果和边界相交，可以认为这个洞只有一半
只要两个球相交或者相切，就可以认为这两个球的空间是连通的，这个老鼠就可以互穿，如果这个球和上边界相切的话，就认为老鼠和上面的区域是连通的，如果洞和下边界相切，就可以认为老鼠可以通过这个洞和下面的区域连通
问上边界和下边界整个是不是连通的，从下边界能不能通过一些洞到上边界，可以输出YES，否则输出NO
最多一共有1000个球，最多包含20个数据，
可以看作一个图
可以把每个球看作是图论中的一个点，如果两个球，它们是相交或相切的，就可以连条边，整个上边界可以看成一个点，整个下边界可以看成是一个点，
- 如果一个球和上边界是连通的，就从这个球到上边界的这个点连一条边
- 如果一个球和下边界是连通的，就从这个球的点到下边界连一条边
下边界的点可以标记为S，上边界的点可以标记为T。
边都是相互的，是一个无向图
方法
给一个无向图，问S和T是不是连通的
方法有很多
- 图的遍历
- BFS
- DFs
- 并查集
- 两个点如果是连通的，就把这两个点所在的集合合并，合并完之后，只要看一下S和T是不是在一个集合里，就可以了
如何建边
N很小，只有1000
所以可以直接暴力枚举每两个球是不是连通的，N^2枚举一遍
1000个点最多100万条边
不管是并查集还是图的遍历，时间复杂度都是O(N+M)，所以时间复杂度都是 1 0 6 10^6 106级别
一共有20个数据，每一个测试数据包含20个测试点，所以每个测试数据，整个的运行时间是 20 ∗ 1 0 6 20*10^6 20∗106，2000万的计算量，是可以过的
如何判断两个球是不是连通的
在空间中求一下两个球心的距离
如果两个球心的距离刚好是两倍的半径的话，就是相切
如果大于2r，就是相离
如果小于2r，就是相交
求距离的时候可以直接根据数学公式来写，这样写会涉及到浮点数，浮点数比较大小的时候，C++里边，需要处理一下精度问题，
如何判断A小于等于B：A < B + eps，这个eps是可以调的，一般是 1 0 − 8 10^{-8} 10−8
如何判断A小于B：A < B - eps
如何判断A等于B：|A-B| < eps
如果不想处理精度问题，可以用整数来做，把等式两边平方一下，就变成和 4 r 2 4r^2 4r2比较
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1010;//定义一个结构体来存储球
int n, h, r;
struct Sphere
{//球心坐标int x, y, z;
}q[N];//p是并查集代表元素数组
int p[N];//并查集模板
int find(int x)
{if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}int main()
{//定义一下测试数据的数量int T;scanf("%d", &T);while (T --){//读入一个点数scanf("%d%d%d", &n, &h, &r);//初始化并查集，下边界的点是0，上边界的点是n+1，中间点的编号是1~nfor (int i = 0; i <= n + 1; i ++) p[i] = i;//依次读入每个点for (int i = 1; i <= n; i ++){int x, y, z;scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);//把每个点的坐标存下来q[i] = {x, y, z};//判断一下球什么时候和上下边界的距离小于等于rif (abs(z) <= r) p[find(i)] = find(0);if (abs(z - h) <= r) p[find(i)] = find(n + 1);}//枚举一下所有中间的球for (int i = 1; i <= n; i ++)for (int j = 1; j < i; j ++){//求出坐标的差值LL dx = q[i].x - q[j].x;LL dy = q[i].y - q[j].y;LL dz = q[i].z - q[j].z;if (dx * dx + dy * dy + dz * dz <= 4 * (LL)r * (LL)r)p[find(i)] = find(j);}if (find(0) == find(n + 1)) puts("Yes");else puts("No");}return 0;
}
