Day9 Logistic Regression（内涵，熵和交叉熵的详解）

中间打了一天的gta5，图书馆闭馆正好+npy 不舒服那天+天气不好，哈哈哈哈哈总之各种理由吧，导致昨天没弄起来，今天补更！

这里重点注意一下， 这个 output值是概率哈，也就是说式子整体表示的含义是 x 属于c1的概率是多大

这个老师真的是讲到我的心坎子里区了，这个logistic Redression 和linear Regression 长得真的好像啊，我自己正有疑惑怎么区分，then……

不知道你们看到这里在想什么哈，反正我的第一个反应就是，woc这logisticRegression不是长得和之前的全连接神经网络的神经元一毛一样吗？甚至还是加上了激活函数，sigmoid的

这里就只有概率论的知识哈，这里为什么是1-f(x³ )? 我自己想的话是因为这个回归只回归 C1 的情况，或者说，对于不同的类要做一个处理后，再进行回归

比较巧妙的使用 01 关系来表示了不同的类的回归情况（注意这里不是做分类任务哈， 不要看见class1 啥的就说是分类任务， 敲黑板，看我们的title 是什么？！）

cross Entropy

这里又出现了，cross Entropy的概念，逃不掉了……那就捡起来补一补：

**熵和交叉熵 **：

从信息传递的角度来看：

信息论中熵的概念首次被香农提出，目的是寻找一种高效/无损地编码信息的方法：以编码后数据的平均长度来衡量高效性，平均长度越小越高效；同时还需满足“无损”的条件，即编码后不能有原始信息的丢失。这样，香农提出了熵的定义：无损编码事件信息的最小平均编码长度。

so， how we get this coding length ?( more deeper :何来的最小，又何来的平均呢？)

eg: 假设我考研的地方有四种可能，然后我要把这个秘密的消息传递给我的亲人

编码方式/事件	北京 60%	四川 20%	天津 15%	其他 5%	平均编码长度
方式1	0	1	10	11	1 * 0.6+1 * 0.2+ 2 * 0.15 +2* 0.05 = 1.2
方式2	0	1	111	110	……
方式3	11	10	0	1	2 * 0.6+2 * 0.2+ 1 * 0.15 +1* 0.05 = 1.75

我们通过计算可以看到，方式1 的平均编码长度是最小的；（这里又想到学c的时候学到的 哈夫曼树，细节上还是有很大不同，由于它用到了树的结构，并不能完全灵活的得到最小编码举例： asdfgh 六个字母，编码出来的最长编码有1001 等，如果直接进行编码 则0 1 10 11 100 101 110，最长仅有3）；那么最小编码长度就是，大于N(事件情况)的2的最小次方 ，然后按照出现概率递减依次递增编码；那么计算平均最小长度，（ps：我是真nb，这个小的推导过程我先自己想的，网上一验证发现还真的对了我去）也就是熵的公式为：

熵的直观解释：

那么熵的那些描述和解释(混乱程度，不确定性，惊奇程度，不可预测性，信息量等)代表了什么呢？

如果熵比较大(即平均编码长度较长)，意味着这一信息有较多的可能状态，相应的每个状态的可能性比较低；因此每当来了一个新的信息，我们很难对其作出准确预测，即有着比较大的混乱程度/不确定性/不可预测性。

并且当一个罕见的信息到达时，比一个常见的信息有着更多的信息量，因为它排除了别的很多的可能性，告诉了我们一个确切的信息。在天气的例子中，Rainy发生的概率为12.5%，当接收到该信息时，我们减少了87.5%的不确定性(Fine,Cloudy,Snow)；如果接收到Fine(50%)的消息，我们只减少了50%的不确定性。

交叉熵

卧槽我一下子就懂了，我tmd 简直就是个天才哈哈

这样想：熵的定义 是该分布下的最小长度；上面那个公式有两个部分我们现在确定不了，p（x）的分布和 需要编码的长度；其实我们做一个预测的时候是啥也不知道的，但是这样不就没法算了嘛，我们不妨假设P(x)是我们知道的，也就是真实的值，那么剩下的编码长度就是观测值咯log₂(Q（x）)，那么由于Entropy的定义， 是p（x)分布下的最小长度的编码，就不可能出现比这个编码更小的数，所以交叉熵越小，说明我们越接近p（x)分布下的最小长度的编码。（也就解释了，机器学习分类算法中，我们总是最小化交叉熵的之前的疑问）

定义这玩意儿的人也是个天才md

感觉这里老师讲错一个东西， 当这两个函数一模一样的时候 得到的不应该是0 吧

之前我就 是这么做的笑死，直接被当反面教材

这里有一点小疑问，为什么不是 学习率×这里的w的变化率 ？

NB chatgpt 上大分，这里就是✖ 那个求和符号管的是后面，这个应该就是见的比较少，所以才有疑问

Discriminative VS Generative

< 0.5

Generative 做了一些假设，脑补了一些数据；这个例子朴素贝叶斯 认为 没有产生11 是因为 sampling的不够多

Multi-class classification

概率或者信息论的角度可以解释

这样编码为什么就没有 关于某几个类之间更近的问题了？

这是一个独热编码（one-hot encoding）的例子。例如，如果有三个类别，那么第一个类别表示为100，第二个类别表示为0,1,0，第三个类别表示为0,0,1。这种编码方式确保了每个类别之间的“距离”是相同的，因为它们在高维空间中是正交的。

Limitation of Logistic Regression

引出 类神经网络 deepLearning