【数据结构】AVL树

AVL树

AVL树（Adelson-Velsky和Landis树）是一种自平衡二叉搜索树。它通过维护树的高度平衡来确保树的操作复杂度为O(log n)。它通过在每个节点上跟踪平衡因子来保持树的平衡。平衡因子是左子树和右子树高度之间的差值。

AVL树的特性

每个节点都有一个平衡因子。
平衡因子等于左子树高度减去右子树高度。
平衡因子必须为-1、0或1。
当插入或删除节点后，平衡因子可能会发生改变，如果平衡因子超出了-1到1的范围，需要通过旋转操作来调整树的结构。

AVL树的操作

AVL树提供了基本的操作，包括插入、删除和查找操作。下面是这些操作的C语言实现。

定义节点结构

首先，我们定义AVL树的节点结构。节点包含一个整数值 value，指向左子树和右子树的指针 left 和 right，以及一个表示子树高度的字段 height。

typedef struct AVLNode {int value;int height;struct AVLNode *left;struct AVLNode *right;
} AVLNode;

左旋和右旋操作

AVL树使用左旋和右旋操作来调整树的结构，确保树的平衡。

// 计算节点的高度
int height(AVLNode *node) {if (node == NULL) {return 0;}return node->height;
}// 更新节点的高度
void updateHeight(AVLNode *node) {if (node) {node->height = 1 + fmax(height(node->left), height(node->right));}
}// 左旋操作
AVLNode* leftRotate(AVLNode *z) {AVLNode *y = z->right;AVLNode *T2 = y->left;// 执行左旋y->left = z;z->right = T2;// 更新节点高度updateHeight(z);updateHeight(y);// 返回新的根节点return y;
}// 右旋操作
AVLNode* rightRotate(AVLNode *z) {AVLNode *y = z->left;AVLNode *T2 = y->right;// 执行右旋y->right = z;z->left = T2;// 更新节点高度updateHeight(z);updateHeight(y);// 返回新的根节点return y;
}

左旋操作将节点 z 的右子树调整为其父节点，右旋操作将节点 z 的左子树调整为其父节点。这些操作用于调整树的结构并保持平衡。

平衡因子计算

平衡因子是AVL树的一个重要属性。它表示节点的左子树高度减去右子树高度的差值。

int getBalance(AVLNode *node) {if (node == NULL) {return 0;}return height(node->left) - height(node->right);
}

插入操作

插入操作在AVL树中插入一个新的值，同时确保树保持平衡。插入后，需要调整树的结构以保持平衡。

// 插入操作
AVLNode* insert(AVLNode *node, int value) {// 执行标准的二叉搜索树插入操作if (node == NULL) {AVLNode *newNode = (AVLNode *)malloc(sizeof(AVLNode));newNode->value = value;newNode->height = 1;newNode->left = newNode->right = NULL;return newNode;}if (value < node->value) {node->left = insert(node->left, value);} else if (value > node->value) {node->right = insert(node->right, value);} else {// 值已存在于树中return node;}// 更新节点的高度updateHeight(node);// 获取平衡因子int balance = getBalance(node);// 根据平衡因子进行调整// 左左情况if (balance > 1 && value < node->left->value) {return rightRotate(node);}// 右右情况if (balance < -1 && value > node->right->value) {return leftRotate(node);}// 左右情况if (balance > 1 && value > node->left->value) {node->left = leftRotate(node->left);return rightRotate(node);}// 右左情况if (balance < -1 && value < node->right->value) {node->right = rightRotate(node->right);return leftRotate(node);}return node;
}

插入操作首先执行标准的二叉搜索树插入操作，将新值插入树中。然后，更新节点的高度并获取平衡因子。根据平衡因子的值，决定是否需要进行旋转操作来保持树的平衡。

删除操作

删除操作在AVL树中删除特定值，同时确保树保持平衡。删除操作可能需要多种情况处理。

// 找到最小值节点
AVLNode* minValueNode(AVLNode *node) {while (node->left != NULL) {node = node->left;}return node;
}// 删除操作
AVLNode* deleteNode(AVLNode *root, int value) {// 执行标准的二叉搜索树删除操作if (root == NULL) {return root;}if (value < root->value) {root->left = deleteNode(root->left, value);} else if (value > root->value) {root->right = deleteNode(root->right, value);} else {// 找到要删除的节点if (root->left == NULL) {AVLNode *temp = root->right;free(root);return temp;} else if (root->right == NULL) {AVLNode *temp = root->left;free(root);return temp;}// 找到右子树的最小值节点AVLNode *temp = minValueNode(root->right);// 复制最小值节点的值到当前节点root->value = temp->value;// 递归删除右子树的最小值节点root->right = deleteNode(root->right, temp->value);}// 更新节点的高度updateHeight(root);// 获取平衡因子int balance = getBalance(root);// 根据平衡因子进行调整// 左左情况if (balance > 1 && getBalance(root->left) >= 0) {return rightRotate(root);}// 左右情况if (balance > 1 && getBalance(root->left) < 0) {root->left = leftRotate(root->left);return rightRotate(root);}// 右右情况if (balance < -1 && getBalance(root->right) <= 0) {return leftRotate(root);}// 右左情况if (balance < -1 && getBalance(root->right) > 0) {root->right = rightRotate(root->right);return leftRotate(root);}return root;
}

删除操作首先执行标准的二叉搜索树删除操作。删除后，更新节点的高度并获取平衡因子。根据平衡因子的值，决定是否需要进行旋转操作来保持树的平衡。

查找操作

查找操作在AVL树中查找特定值。查找过程与二叉搜索树类似，但AVL树能够在操作后确保树的平衡。

AVLNode* search(AVLNode* node, int value) {if (node == NULL || node->value == value) {return node;}// 根据值的大小决定查找方向if (value < node->value) {return search(node->left, value);} else {return search(node->right, value);}
}