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目录
前言
AVL 树
1.1 AVL树的概念
1.2 AVL树节点的定义
编辑
1.3左旋
1.3右旋
1.4双旋
前言
C++ set&&map 这篇从了解到使用map,map也是搜索二叉树,因为搜索二叉树会出现歪脖子树的情况,本篇就讲如何解决歪脖子树。记住口令 旋转 旋转 旋转 !!! 重要的事说三边。 搜索二叉树加入平衡因子 旋转 就成了传说之中的AVL树
AVL 树
1.1 AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查 找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下 。因此,两位俄罗斯的数 G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ,即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。一棵 AVL 树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在
- $O(log_2 n)$,搜索时间复杂度O($log_2 n$)。
这里需要强调一下:AVL树不一定有平衡因子, 还有
递归更新高度:在插入或删除节点后,AVL树会递归地更新从该节点到根节点的所有祖先节点的高度。这是必要的,因为平衡因子是基于节点的高度来计算的。通过递归更新高度,AVL树能够准确地维护每个节点的平衡因子
这里我们用平衡因子来实现,因为比较好理解!!!
1.2 AVL树节点的定义
我们先把AVL节点定义出来
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K,V)& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:Node* _root = nullptr;
};
插入代码
bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;
}
插入之后 根据下图的规则,我们更新_bf
//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续更新parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}
1.3左旋
对上图新增插入10 这时右树的平衡因子 8 7 就变成了2 绝对值大于1,已经失衡了!
这时就要通过旋转来调节平衡高度。
这里强调代码不是重点 画图理解才是重点,前面有二叉树基础,代码非常好写,画图才能理清这里的关系!!!
这里我们从上面得出几个结论:
平衡因子发生变化 决定是否更新父亲节点,而爷爷节点更新也是取决于父亲节点的平衡因子是否发生变化 变了就继续往上更新,不变则不更新。
那就有3种情况:
- parent-> bf == 1 || parent-> bf == -1 parent的子节点发生变化,继续更新。
因为 插入之前 parent-> bf == 0 插入之后要么在左、要么在右 说明高度变了
- parent-> bf ==2 || parent-> bf == -2 这种情况 parent的子树明显不平衡,需要旋转处理
- parent-> bf == 0 这种情况 说明插入之前的parent这个节点是一高一低的,插入后刚好填到矮的那一边,两边子树的高度平衡不需要处理。
那既然 parent的bf是2或者-2这两个值需要旋转处理。那什么情况左旋转?
我先说结论:右边的子树高 就左旋转。看图
图画出来就好办了,把图用代码实现。
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左旋{RotateL(parent);}
void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;subR->_left = parent;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (pparent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}
1.3右旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右旋{RotateR(parent);}
void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;subL->_right = parent;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (pparent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;}else{pparent->_right = subL;}subL->_parent = pparent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}
1.4双旋
双旋一共有两种情况:
- 先右旋,再左旋。
- 先左旋,再右旋 。
那什么时候先右旋,再左旋? 什么时候又先左旋,再右旋?先说结论:
- 新增节点插入较高左子树的右侧,那么就先左单旋再右单旋。
- 新增节点插入较高右子树的左侧,那么就先右单旋再左单旋。
先来讲解左右双旋
那如果我们复用之前的左右函数就会出现一个问题,parent 和sub*这两个节点的_bf设置为0 如上图 parent的_bf是1 ,subl是0。这时又有三种情况。
第一种情况就入上图所示。
第二种情况 新增节点插入到C这个子树 那么parent的_bf就是0 subl的_fd为-1。
第三种情况 如果h等于0那60就是新增节点,它们的_bf为0没错。
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //先左再右{RotateLR(parent);}
void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}
右左双旋
第一种情况就入上图所示。
第二种情况 新增节点插入到b这个子树 那么parent的_bf就是0 subR的_fd为1。
第三种情况 如果h等于0那60就是新增节点,它们的_bf为0没错。
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //先右再左{RotateRL(parent);}
void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}
代码 我是单独拆分了,直接复制可能会报错,为了大家好理解我做成模块化!
这里强调的是 其实AVL树,我们根本就不需要手撕,前人已经帮我们造好轮子了,我们自己根本就不需要自己造轮子。主要是画图理解旋转的过程。
要看代码的完整性可以去看我的码云