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前言

AVL 树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

编辑

1.3左旋

1.3右旋

1.4双旋

前言

C++ set&&map 这篇从了解到使用map，map也是搜索二叉树，因为搜索二叉树会出现歪脖子树的情况，本篇就讲如何解决歪脖子树。记住口令旋转旋转旋转！！！重要的事说三边。搜索二叉树加入平衡因子旋转就成了传说之中的AVL树

AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。

因此，两位俄罗斯的数 G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis

在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。

这里需要强调一下：AVL树不一定有平衡因子，还有

递归更新高度：在插入或删除节点后，AVL树会递归地更新从该节点到根节点的所有祖先节点的高度。这是必要的，因为平衡因子是基于节点的高度来计算的。通过递归更新高度，AVL树能够准确地维护每个节点的平衡因子

这里我们用平衡因子来实现，因为比较好理解！！！

1.2 AVL树节点的定义

我们先把AVL节点定义出来

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;int _bf;AVLTreeNode(const pair<K,V)& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
private:Node* _root = nullptr;
};

插入代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;
}

插入之后根据下图的规则，我们更新_bf

//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续更新parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 0){break;}

1.3左旋

对上图新增插入10 这时右树的平衡因子 8 7 就变成了2 绝对值大于1，已经失衡了！

这时就要通过旋转来调节平衡高度。

这里强调代码不是重点画图理解才是重点，前面有二叉树基础，代码非常好写，画图才能理清这里的关系！！！

这里我们从上面得出几个结论：

平衡因子发生变化决定是否更新父亲节点，而爷爷节点更新也是取决于父亲节点的平衡因子是否发生变化变了就继续往上更新，不变则不更新。

那就有3种情况：

parent-> bf == 1 || parent-> bf == -1 parent的子节点发生变化，继续更新。

因为插入之前 parent-> bf == 0 插入之后要么在左、要么在右说明高度变了

parent-> bf ==2 || parent-> bf == -2 这种情况 parent的子树明显不平衡，需要旋转处理
parent-> bf == 0 这种情况说明插入之前的parent这个节点是一高一低的，插入后刚好填到矮的那一边，两边子树的高度平衡不需要处理。

那既然 parent的bf是2或者-2这两个值需要旋转处理。那什么情况左旋转？

我先说结论：右边的子树高就左旋转。看图

图画出来就好办了，把图用代码实现。

else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左旋{RotateL(parent);}

	void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;subR->_left = parent;parent->_right = subRL;if(subRL)subRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (pparent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subR;}else{pparent->_right = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

1.3右旋

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右旋{RotateR(parent);}

void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;subL->_right = parent;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (pparent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (pparent->_left == parent){pparent->_left = subL;}else{pparent->_right = subL;}subL->_parent = pparent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}

1.4双旋

双旋一共有两种情况：

先右旋，再左旋。
先左旋，再右旋。

那什么时候先右旋，再左旋？什么时候又先左旋，再右旋？先说结论：

新增节点插入较高左子树的右侧，那么就先左单旋再右单旋。
新增节点插入较高右子树的左侧，那么就先右单旋再左单旋。

先来讲解左右双旋

那如果我们复用之前的左右函数就会出现一个问题，parent 和sub*这两个节点的_bf设置为0 如上图 parent的_bf是1 ，subl是0。这时又有三种情况。

第一种情况就入上图所示。

第二种情况新增节点插入到C这个子树那么parent的_bf就是0 subl的_fd为-1。

第三种情况如果h等于0那60就是新增节点，它们的_bf为0没错。

else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //先左再右{RotateLR(parent);}

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}}

右左双旋

第一种情况就入上图所示。

第二种情况新增节点插入到b这个子树那么parent的_bf就是0 subR的_fd为1。

第三种情况如果h等于0那60就是新增节点，它们的_bf为0没错。

else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //先右再左{RotateRL(parent);}

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}}