定积分的详细定义与可积条件

Riemann可积

定义3.1 Riemann和

若函数$f\left(x\right)$是闭区间$\left[a,b\right]$上的有界函数,对闭区间$\left[a,b\right]$作划分 P = { [ x i − 1 , x i ] ∣ x 0 = a ≤ x i − 1 < x i ≤ x n = b , 1 ≤ i ≤ n , i ∈ N } P =\left \{ \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\mid x_{0}=a\le x_{i-1}<x_{i} \le x_{n}=b,1\le i \le n,i\in \mathbb{N}\right \} P={[xi−1​,xi​]∣x0​=a≤xi−1​<xi​≤xn​=b,1≤i≤n,i∈N},也就是选取包含闭区间$\left[a,b\right]$左端点a和右端点b在内的$n+1$个点$x_i$将闭区间$\left[a,b\right]$分为$n-1$段,划分后每个闭区间$\left[x_{i-1},x_i\right]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$,${\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)$称为Riemann和。

定义3.2 Riemann可积

记 λ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { Δ x i } \lambda =\underset{1\le i\le n}{\max} \left \{ \Delta x_{i} \right \} λ=1≤i≤nmax​{Δxi​},$\lambda \to 0$代表$\forall i\in \left[1,n\right]$,$\Delta x_i\to 0$,在每个闭区间$\left[x_i,x_{i+1}\right]$任意选取点${\xi }_i$,若Riemann和的极限${\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)=I\in \mathbb{R}$存在且有限,并且与划分$P$和取点${\xi }_i$无关,则称函数$f\left(x\right)$Riemann可积。

定积分定义

定义3.3 定积分

若函数$f\left(x\right)$满足Riemann可积的条件,且Riemann和的极限${\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)=I$,$I\in \mathbb{R}$,则称$I$为闭区间$\left[x_i,x_{i+1}\right]$上的定积分,记为${\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)=I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$。
另有$\epsilon -\delta$语言表述如下:
$\forall \epsilon >0$,$\exists \delta >0$: ∀ P = { [ x i − 1 , x i ] ∣ x 0 = a ≤ x i − 1 < x i ≤ x n = b , 1 ≤ i ≤ n } \forall P=\left \{ \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\mid x_{0}=a\le x_{i-1}<x_{i} \le x_{n}=b,1\le i \le n\right \} ∀P={[xi−1​,xi​]∣x0​=a≤xi−1​<xi​≤xn​=b,1≤i≤n},$\forall {\xi }_i\in \left[x_{i-1},x_i\right]$,$\forall \lambda \in \left(0,\delta \right)$,$\left|{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)-I\right|<\epsilon$。

定积分定义的扩展

定义3.4 Darboux上(下)和

若函数$f\left(x\right)$是闭区间$\left[a,b\right]$上的有界函数,$M=\underset{a\le x\le b}{\sup }f\left(x\right)$,$m=\underset{a\le x\le b}{\inf }f\left(x\right)$,对闭区间$\left[a,b\right]$作划分 P = { [ x i − 1 , x i ] ∣ x 0 = a ≤ x i − 1 < x i ≤ x n = b , 1 ≤ i ≤ n , i ∈ N } P =\left \{ \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\mid x_{0}=a\le x_{i-1}<x_{i} \le x_{n}=b,1\le i \le n,i\in \mathbb{N}\right \} P={[xi−1​,xi​]∣x0​=a≤xi−1​<xi​≤xn​=b,1≤i≤n,i∈N},划分后每个闭区间$\left[x_{i-1},x_i\right]$又有对应的$M_i=\underset{x_{i-1}\le x\le x_i}{\sup }f\left(x_i\right)$,$m_i=\underset{x_{i-1}\le x\le x_i}{\inf }f\left(x_i\right)$,
定义Darboux上和$\overline{S}\left(P\right)={\sum }_{i=1}^n\left(M_i\Delta x_i\right)$,Darboux下和$\underline{S}\left(P\right)={\sum }_{i=1}^n\left(m_i\Delta x_i\right)$。

引理3.1

在划分$P$中增加新分点,则新的Darboux上和不增加,新的Darboux下和不减少。

不妨设只在其中一个闭区间增加一个分点,增加多个分点可以分解为每次只增加一个分点的递归问题。
以Darboux上和为例,设在闭区间$\left[x_{i-1},x_i\right]$内增加新分点$x_k$,旧划分记为$P_0$,新划分记为$P_1$。
比较$\overline{S}\left(P_0\right)$与$\overline{S}\left(P_1\right)$,除闭区间$\left[x_{i-1},x_i\right]$外的其余闭区间不受影响,
而对于原来的$\left[x_{i-1},x_i\right]$,重新划分后,闭区间$\left[x_{i-1},x_k\right]$的上确界为$\underset{x_{i-1}\le x\le x_k}{\sup }\left[x_{i-1},x_k\right]=c_1$,闭区间$\left[x_k,x_i\right]$的上确界为$\underset{x_k\le x\le x_i}{\sup }\left[x_k,x_i\right]=c_2$,且$c_1\le M_i$,$c_2\le M_i$,
则$c_1\left(x_{i-1}-x_k\right)+c_2\left(x_k-x_i\right)\le M_i\left(x_{i-1}-x_k\right)+M_i\left(x_k-x_i\right)=M_i\left(x_{i-1}-x_i\right)=M_i\Delta x_i$,即$\overline{S}\left(P_0\right)\ge \overline{S}\left(P_1\right)$。
同理可得$\underline{S}\left(P_0\right)\le \underline{S}\left(P_1\right)$。

引理3.2

对任意划分$P_1$,$P_2$,有$m\left(b-a\right)\le \underline{S}\left(P_1\right)\le \overline{S}\left(P_2\right)\le M\left(b-a\right)$。

构造特殊划分 P 0 = { [ a , b ] } P_{0} =\left \{ \left [ a,b \right ] \right \} P0​={[a,b]},$\underline{S}\left(P_0\right)=m\left(b-a\right)$,$\overline{S}\left(P_0\right)=M\left(b-a\right)$。
根据引理3.1,$\underline{S}\left(P_0\right)=m\left(b-a\right)\le \underline{S}\left(P_1\right)$,$\overline{S}\left(P_2\right)\le \overline{S}\left(P_0\right)=M\left(b-a\right)$;
构造特殊划分$P^{\ast }$,其为划分$P_1$与划分$P_2$的积划分$P_1\cdot P_2$,其分点也就是划分$P_1$与划分$P_2$的所有分点的并集。
根据引理3.1,$\underline{S}\left(P_1\right)\le \underline{S}\left(P^{\ast }\right)\le \overline{S}\left(P^{\ast }\right)\le \overline{S}\left(P_2\right)$。

定理3.1 Darboux定理

若函数$f\left(x\right)$是闭区间$\left[a,b\right]$上的有界函数,记函数$f\left(x\right)$对一切划分$P$的全体Darboux上和构成的集合为$\overline{S}=\left\{\overline{S}\left(P\right)\right\}$,$L=\inf \overline{S}$,函数$f\left(x\right)$对一切划分$P$的全体Darboux下和构成的集合为 S ‾ = { S ‾ ( P ) } \underline{S}=\left \{ \underline{S} \left ( P \right ) \right \} S​={S​(P)},$l=\sup \underline{S}$,则有${\lim }_{\lambda \to 0}\overline{S}\left(P\right)=L$,${\lim }_{\lambda \to 0}\underline{S}\left(P\right)=l$。

以Darboux上和的下确界$L$为例,
记$P^{\prime }=\left\{\left[x_{i-1}^{\prime },x_i^{\prime }\right]\mid x_0=a\le x_{i-1}<x_i\le x_p=b,1\le i\le p\right\}$,
取 δ 1 = min ⁡ 1 ≤ i ≤ p { Δ x i ′ } \delta_{1}= \underset{1\le i\le p}{\min}\left \{ \Delta x_{i}^{\prime } \right \} δ1​=1≤i≤pmin​{Δxi′​},任取划分 P = { [ x j − 1 , x j ] ∣ x 0 = a ≤ x j − 1 < x j ≤ x q = b , 1 ≤ j ≤ q } P=\left \{ \left [ x_{j-1},x_{j} \right ] \mid x_{0}=a\le x_{j-1} < x_{j} \le x_{q}=b,1\le j\le q \right \} P={[xj−1​,xj​]∣x0​=a≤xj−1​<xj​≤xq​=b,1≤j≤q}, λ = max ⁡ 1 ≤ j ≤ q { Δ x j } \lambda =\underset{1\le j\le q}{\max} \left \{ \Delta x_{j} \right \} λ=1≤j≤qmax​{Δxj​},
构造特殊划分$P^{\ast }$,其为划分$P$与划分$P^{\prime }$的积划分$P\cdot P^{\prime }$,其分点也就是划分$P$与划分$P^{\prime }$的所有分点的并集。
$\overline{S}\left(P\right)-L\le \left(\overline{S}\left(P\right)-\overline{S}\left(P^{\ast }\right)\right)+\left(\overline{S}\left(P^{\ast }\right)-\overline{S}\left(P^{\prime }\right)\right)+\left(\overline{S}\left(P^{\prime }\right)-L\right)$,
由下确界定义,$\forall \epsilon >0$,$\exists P^{\prime }$:$\left|\overline{S}\left(P^{\prime }\right)-L\right|<\frac{\epsilon }{2}$($\mathrm{I}$);
引用引理3.1,$\overline{S}\left(P^{\ast }\right)-\overline{S}\left(P^{\prime }\right)\le 0$($\mathrm{II}$);
考虑将$P$的分点逐个插入原划分$P^{\prime }$中,为保证前提条件$\forall 1\le j\le q$,$\forall 1\le i\le p$,$\Delta x_j\le \lambda <{\delta }_1\le \Delta x_i^{\prime }$仍然成立,则$p-1$闭区间$\left[x_{i-1}^{\prime },x_i^{\prime }\right]$中每个只能插入一个$P$的分点,否则,$\exists j$:$\Delta x_j=x_j-x_{j-1}>{\delta }_1$,违反前提条件,
取${\delta }_2=\frac{\epsilon }{2\left(p-1\right)\left(M-m\right)}>0$,则$\forall \epsilon >0$, ∃ δ = min ⁡ { δ 1 , δ 2 } > 0 \exists \delta =\min\left \{\delta_{1},\delta_{2} \right \}>0 ∃δ=min{δ1​,δ2​}>0:$\forall P$,$\forall \lambda \in \left(0,\delta \right)$,$\overline{S}\left(P\right)-\overline{S}\left(P^{\ast }\right)<\left(p-1\right)\left(M-m\right)\delta <\frac{\epsilon }{2}$($\mathrm{III}$),
综合($\mathrm{I}$),($\mathrm{II}$),($\mathrm{III}$),$\forall \epsilon >0$, ∃ δ = min ⁡ { δ 1 , δ 2 } > 0 \exists \delta =\min\left \{\delta_{1},\delta_{2} \right \}>0 ∃δ=min{δ1​,δ2​}>0:$\forall P$,$\forall \lambda \in \left(0,\delta \right)$,$\left|\overline{S}\left(P\right)-L\right|<\frac{\epsilon }{2}$,即${\lim }_{\lambda \to 0}\overline{S}\left(P\right)=L$。

定理3.2

函数$f\left(x\right)$在闭区间$\left[a,b\right]$可积的充要条件为${\lim }_{\lambda \to 0}\overline{S}\left(P\right)=L=l={\lim }_{\lambda \to 0}\underline{S}\left(P\right)$。

<1>必要性
根据Riemann可积的条件,$\forall \epsilon >0$,$\exists \delta >0$: ∀ P = { [ x i − 1 , x i ] ∣ x 0 = a ≤ x i − 1 < x i ≤ x n = b , 1 ≤ i ≤ n } \forall P=\left \{ \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\mid x_{0}=a\le x_{i-1}<x_{i} \le x_{n}=b,1\le i \le n\right \} ∀P={[xi−1​,xi​]∣x0​=a≤xi−1​<xi​≤xn​=b,1≤i≤n},$\forall {\xi }_i\in \left[x_{i-1},x_i\right]$,$\forall \lambda \in \left(0,\delta \right)$,$\left|{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)-I\right|<\frac{\epsilon }{2}$($\mathrm{I}$);
取${\xi }_i\in \left[x_{i-1},x_i\right]$:$\left|M_i-f\left({\xi }_i\right)\right|<\frac{\epsilon }{2\left(b-a\right)}$,
则有$\left|\overline{S}\left(P\right)-{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)\right|=\left|{\sum }_{i=1}^n\left[\left(M_i-f\left({\xi }_i\right)\right)\Delta x_i\right]\right|<\left(b-a\right)\cdot \frac{\epsilon }{2\left(b-a\right)}=\frac{\epsilon }{2}$($\mathrm{II}$);
综合($\mathrm{I}$),($\mathrm{II}$)可知,$\forall \epsilon >0$,$\exists \delta >0$: ∀ P = { [ x i − 1 , x i ] ∣ x 0 = a ≤ x i − 1 < x i ≤ x n = b , 1 ≤ i ≤ n } \forall P=\left \{ \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\mid x_{0}=a\le x_{i-1}<x_{i} \le x_{n}=b,1\le i \le n\right \} ∀P={[xi−1​,xi​]∣x0​=a≤xi−1​<xi​≤xn​=b,1≤i≤n},$\forall {\xi }_i\in \left[x_{i-1},x_i\right]$,$\forall \lambda \in \left(0,\delta \right)$,$\left|\overline{S}\left(P\right)-I\right|\le \left|\overline{S}\left(P\right)-{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)\right|+\left|{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)-I\right|<\epsilon$,即${\lim }_{\lambda \to 0}\overline{S}\left(P\right)=I$。
<2>充分性
由定义易得$\overline{S}\left(P\right)\le {\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)\le \underline{S}\left(P\right)$。
由两边夹原理,$L={\lim }_{\lambda \to 0}\overline{S}\left(P\right)={\lim }_{\lambda \to 0}\left[{\sum }_{i=1}^n\left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)\right]={\lim }_{\lambda \to 0}\underline{S}\left(P\right)=l$,满足Riemann可积的条件。