数据结构笔记

重点

一、数据结构的定义

逻辑结构

集合结构：除了同属于一个集合之外，没有其他关系

线状结构：数据元素之间是一对一的关系

树形结构：数据元素之间是一对多的层次关系

图形结构：数据元素之间是多对多的关系

存储结构

线性存储结构：数据元素存放在连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的

链式存储结构：数据元素存放在任意的存储单里，存储单元可以是连续的，也可以是不连续的

分析算法的世界复杂度和空间复杂度

在这里插入图片描述

二、线性表

在这里插入图片描述

1、顺序表和链表的优缺点

顺序表：

优点：

顺序表的内存空间连续。
尾插、尾删效率较高，时间复杂度是O(1)。
支持随机访问，可以高效的按下标进行操作，时间复杂度是O(1)。

缺点：

在顺序表中间插入或删除元素时都涉及到元素的移动，效率较低，时间复杂度为O(N)。
顺序表长度固定，有时需要扩容。

链表：

优点：

链表的内存空间不连续。
如果知道要处理节点的前一个位置，则进行插入和删除的复杂度为O(1);
如果不知道要处理节点的前一个位置，则进行插入和删除的复杂度为O(N)。
头插、头删的效率高，时间复杂度是O(1)。
没有空间限制，不会溢出，可以存储很多元素。

缺点：
链表不支持随机访问，查找元素效率低，需要遍历节点，时间复杂度是O(n)。

2、考察链表或者双向链表

1.带头还是不带头

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2.循环还是不循环

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3.单向还是双向

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虽然单链表的结构众多，但大部分常用的还是两种结构。无头单向不循环链表和带头双向循环链表

例题

约瑟夫环

将链表各个元素排在一个圆上，从头开始数，数到第k个元素就删掉，直到链表只有一个元素为止。

struct node
{int data;node *next;
};
node *creat(int n)
{node *head, *tail, *p;head = new node;tail = new node;p = new node;p -> data = 1;p -> next = NULL;head = p;tail = p;for(int i = 2; i <= n; i ++){p = new node;p -> data = i;p -> next = NULL;tail -> next = p;tail = p;}tail -> next = head;return head;
}
void del(node *head, int n, int m)
{int cnt = 0, s = 0;node *pre, *p;pre = head;while(pre -> next != head){pre = pre -> next;}while(cnt < n - 1){p = pre -> next;s ++;if(s == m){s = 0;cnt ++;pre -> next = p -> next;cout << p -> data << " ";delete(p);}else pre = p;}cout << pre -> data << endl;
}

单链表为啥要设置头节点

有了头结点后****，对在第一个元素结点前插入结点和删除第一个结点，其操作与对其它结点的操作统一了。****
头指针具有标识作用，故常用头指针冠以链表的名字。
*为了使空链表与非空链表处理一致，我们通常设一个头结点*。

三、栈与队列

栈

入出栈都采取先进后出原则。

中缀式转成后缀式

/*
首先输入字符串，然后遍历字符串进行操作
当当前字符为数字时直接输出
当当前字符为*或/时，输出栈中的*或/号，当前字符入栈
当当前字符为+或-时，输出栈中的字符直到字符为（为止，当前字符入栈
当当前字符为（时，入栈
当当前字符为）时，输出栈中字符直到（为止
*/

后缀式求值

设置一个栈，开始时，栈为空，然后从左到右扫描后缀表达式，若遇操作数，则进栈；若遇运算符，则从栈中退出两个元素，先退出的放到运算符的右边，后退出的放到运算符左边，运算后的结果再进栈，直到后缀表达式扫描完毕

5 -2 + 3 * #
遇到5， -2，就push到栈中，此时栈中有两个元素，为5， -2，遇到+，从栈顶中取出两个元

素，进行运算，5 +（-2） = 3，获得结果之后，将结果push到栈中，现在栈中只剩下了一个元素

3，然后继续输入，3，push到栈中，此时栈中有两个元素，遇到 ‘*’ 号，从栈顶中取出两个元素，

3， 3，进行乘法运算，3 * 3 = 9，然后将 9 push到栈中，栈中只剩下了一个元素，9，然后继续

输入，此时遇到了 ‘#’ 号，结束读入。
括号匹配

当当前字符为（、【、{时，将括号入栈，当当前字符为）、】、}时，查看栈顶元素是否为其对应的括号，同时栈不可以为空

队列

队列是先进先出

用队列解决约瑟夫环问题

将所有元素入队列，

int main()
{int n, m;cin >> n >> m;queue<int>q;for(int i = 1; i <= n; i ++)q.push(i);while(q.size() > 1){for(int i = 0; i < m - 1; i ++){int now = q.front();q.pop();q.push(now);}cout << q.front() << " ";q.pop();}cout << q.front() << endl;return 0;
}

四、kmp

模板

string s, t;
int n, m;
int Next[N];
void dp()
{int i = 0, j = -1;Next[0] = -1;while(i < m){if(j == -1 || t[i] == t[j]){i ++;j ++;Next[i] = j;}else j = Next[j];}
}
int kmp()
{int i = 0, j = 0;int cnt = 0;while(i < n && j < m){if(j == -1 || s[i] == t[j]){i ++;j ++;}else j = Next[j];if(j == m){cnt ++;j = Next[j];}}return cnt;
}

五、广义表知识点

广义表的基础概念

什么是广义表

广义表，又称列表，也是一种线性存储结构，既可以存储不可再分的元素，也可以存储广义表，记作：LS = (a1,a2,…,an)，其中，LS 代表广义表的名称，an 表示广义表存储的数据，广义表中每个 ai 既可以代表单个元素，也可以代表另一个广义表。
广义表的原子和子表

广义表中存储的单个元素称为 “原子”，而存储的广义表称为 “子表”。
例如：广义表 LS = {1,{1,2,3}}，则此广义表的构成：广义表 LS 存储了一个原子 1 和子表 {1,2,3}。
广义表存储数据的一些常用形式：
A = ()：A 表示一个广义表，只不过表是空的。
B = (e)：广义表 B 中只有一个原子 e。
C = (a,(b,c,d)) ：广义表 C 中有两个元素，原子 a 和子表 (b,c,d)。
D = (A,B,C)：广义表 D 中存有 3 个子表，分别是A、B和C。这种表示方式等同于 D = ((),(e),(b,c,d)) 。
E = (a,E)：广义表 E 中有两个元素，原子 a 和它本身。这是一个递归广义表，等同于：E = (a,(a,(a,…)))。
广义表的表头和表尾

当广义表不是空表时，称第一个数据（原子或子表）为"表头"，剩下的数据构成的新广义表为"表尾"。
除非广义表为空表，否则广义表一定具有表头和表尾，且广义表的表尾一定是一个广义表。

广义表的存储结构

求广义表长度时，两种不同的存储方式求解也有所不同，如下示意图所示：

在这里插入图片描述

对于图 1a) 来说，只需计算最顶层（红色标注）含有的节点数量，即可求的广义表的长度。同理，对于图 1b) 来说，由于其最顶层（蓝色标注）表示的此广义表，而第二层（红色标注）表示的才是该广义表中包含的数据元素，因此可以通过计算第二层中包含的节点数量，才可求得广义表的长度。

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六、树和二叉树

先序中序后序

根左右，左根右，左右根

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层序遍历

从上到下，从左到右遍历

void cengxu(node *root)
{int in = 0, out = 0;node *q[55];q[in ++] = root;while(in > out){if(q[out]){cout << q[out] -> data;q[in ++] = q[out] -> l;q[in ++] = q[out] -> r;}out ++;}
}

以上算法都是时间复杂度o（n），空间复杂度o（n）

还原二叉树、创建二叉树

还原二叉树

先序遍历字符串输入，如果为叶子节点输出NULL，否则创造新节点，左建树，右建树

struct node
{int data;node *l, *r;
};
char a[N];
int k = 0;
node *build()
{node *root;if(a[k ++] == ',') return NULL;root = new node;root -> data = a[k];root -> l = build();root -> r = build();return root;
}

创建二叉树

先序中序输出后序

struct node
{int data;node *l, *r;
};
char pre[N], mid[N];
node *build(int len, char *pre, char *mid)
{if(!len) return NULL;node *root = NULL;root = new node;root -> data = pre[0];int i;for(i = 0; i < len; i ++){if(mid[i] == pre[0])break;}root -> l = build(i, pre + 1, mid);root -> r = build(len - i - 1, pre + i + 1, mid + 1 + i);return root;
}
void postorder(node *root)
{if(root){postorder(root -> l);postorder(root -> r);cout << char(root -> data);}
}

中序和后序输出先序

struct node
{int data;node *l, *r;
};
char mid[N], post[N];
node *build(int len, char *mid, char *post)
{if(!len) return NULL;node *root = NULL;root = new node;root -> data = post[len - 1];int i;for(i = 0; i < len; i ++){if(mid[i] == post[len - 1])break;}root -> l = build(i, mid, post);root -> r = build(len - 1 - i, mid + i + 1, post + i);return root;
}
void preorder(node *root)
{if(root){cout << char(root -> data);preorder(root -> l);preorder(root -> r);}
}

二叉树的六个性质

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2^(i-1)(i>=1)

性质2：深度为i的二叉树至多有2 ^(i)-1个结点，至少有2 ^(i-1)个结点（i>=1）

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为
$(l o g 2 n) + 1$
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

证明：
n为总结点数，n1为度为1的结点总数，n0,n2同理；
由（1）（2）

n=n0+n1+n2 (1)
n=n0 *0+n1 *1+n2 2+1即 n=n1+2n2+1 (2)

得：n0=n2+1

性质5：具有n个结点的完全二叉树的深度为
$f l oor (l o g 2 n) (向下取整) + 1$
性质6：将一颗完全二叉树依次编号1-n;
结点编号间关系：

                                            floor（i/2）|i/   \  2i      2i+1

求深度求叶子

求深度

int deep(node *root)
{int d1, d2;if(root){d1 = deep(root -> l);d2 = deep(root -> r);return max(d1, d2) + 1;}return 0;
}

求叶子

出度为0的为叶子

树与二叉树，树二叉树和森林之间的转化

将树转换为二叉树：树中每个结点最多只有一个最左边的孩子(长子)和一个右邻的兄弟。按照这种关系很自然地就能将树转换成相应的二叉树：1.在所有兄弟结点之间加一连线2.对每个结点，除了保留与其长子的连线外，去掉该结点与其它孩子的连线。如下图所示：
将一个森林转换为二叉树：

具体方法是：1.将森林中的每棵树变为二叉树；2.因为转换所得的二叉树的根结点的右子树均为空，故可将各二叉树的根结点视为兄弟从左至右连在一起，就形成了一棵二叉树。

如下图所示：
二叉树转换为树：

是树转换为二叉树的逆过程。

1.加线。若某结点X的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点…，都作为结点X的孩子。将结点X与这些右孩子结点用线连接起来。

2.去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。

如下图所示：
二叉树转换为森林：

假如一棵二叉树的根节点有右孩子，则这棵二叉树能够转换为森林，否则将转换为一棵树。

1.从根节点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除。再查看分离后的二叉树，若其根节点的右孩子存在，则连线删除…。直到所有这些根节点与右孩子的连线都删除为止。

2.将每棵分离后的二叉树转换为树。

如下图所示：

七、图论

基本算法：图的邻接矩阵存储，图的邻接表存储，图的正向反向转化，会画邻接矩阵邻接表，有向图会画逆邻接表，还原图，bfs（分层，dp，最短路）和dfs（图的连通集）的算法

最小生成树的prime算法和克鲁斯卡尔算法

最短路的迪杰斯特拉算法，floyd，拓扑排序算法，欧拉回路

在这里插入图片描述

邻接矩阵和邻接表存储知识点

邻接矩阵就是一个二维数组存储信息

邻接表就是vector<vector>mp;

邻接矩阵适用于稠密图（边数接近于顶点数的平方），邻接表适用于稀疏图（边数远小于顶点数的平方）。

bfs

存储

BFS是一种借用队列来存储的过程，分层查找，优先考虑距离出发点近的点。无论是在邻接表还是邻接矩阵中存储，都需要借助一个辅助队列，v个顶点均需入队，最坏的情况下，空间复杂度为O（v）。

邻接表形式存储时，每个顶点均需搜索一次，时间复杂度T1=O（v），从一个顶点开始搜索时，开始搜索，访问未被访问过的节点。最坏的情况下，每个顶点至少访问一次，每条边至少访问1次，这是因为在搜索的过程中，若某结点向下搜索时，其子结点都访问过了，这时候就会回退，故时间复杂度为O(E)，算法总的时间复度为O(|V|+|E|)。

邻接矩阵存储方式时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V)，即该节点所在的该行该列。又有n个顶点，故算总的时间复杂度为O(|V|^2)。

算法实现

将起点放到队列里，从队列头节点开始遍历，将与他连着的点放到队列里，然后继续遍历队列头节点，重复之前的，把与他连着的点放到队列里，最后遍历完成，全部节点入队

void bfs(int op)
{queue<int>q;q.push(op);vis[op] = 1;while(q.size()){int now = q.front();q.pop();cout << now << " ";for(int i = 0; i < mp[now].size(); i ++){if(!vis[mp[now][i]]){vis[mp[now][i]] = 1;q.push(mp[now][i]);}}}
}

dfs

存储

DFS算法是一一个递归算法，需要借助一个递归工作栈，故它的空问复杂度为O(V）。

遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻接点的过程，其耗费的时间取决于所采用结构。

邻接表表示时，查找所有顶点的邻接点所需时间为O(E)，访问顶点的邻接点所花时间为O（V）,此时，总的时间复杂度为O(V+E)。

邻接矩阵表示时，查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V)，要查找整个矩阵，故总的时间度为O(V^2)。

v为图的顶点数，E为边数。

算法实现

将起点放到队列里，然后遍历队列，取出头节点，搜索与他连着的点，然后搜索与他连着的点的连着的点，然后是连着的点的连着的点的连着的点。。。。。

vector<int>mp[N];
int vis[N];
int n, m;
void dfs(int op)
{if(op > n) return;cout << op << " ";vis[op] = 1;for(int i = 0; i < mp[op].size(); i ++){if(!vis[mp[op][i]]){dfs(mp[op][i]);}}
}
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; i ++){int u, v;cin >> u >> v;mp[u].push_back(v);}for(int i = 0; i < n; i ++)sort(mp[i].begin(), mp[i].end());for(int i = 0; i < n; i ++){if(!vis[i]){dfs(i);}}return 0;
}

最小生成树

克鲁苏卡尔

将所有边排序，从小到大依次加边，加边过程中不可以成环，直到加完n-1条边

struct node
{int u, v, w;
}a[N];
int f[N];
bool cmp(node a, node b)
{return a.w < b.w;
}
int Find(int x)
{return x == f[x] ? x : f[x] = Find(f[x]);
}
int Merge(int x, int y)
{int a = Find(x);int b = Find(y);if(a != b){f[b] = a;return 1;}return 0;
}
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 0; i <= n; i ++)f[i] = i;for(int i = 1; i <= m; i ++){int u, v, w;cin >> u >> v >> w;a[i].u = u;a[i].v = v;a[i].w = w;}sort(a + 1, a + 1 + m, cmp);int cnt = 0, ans = 0;for(int i = 1; i <= m; i ++){int x = a[i].u, y = a[i].v;if(Merge(x, y)){cnt ++;ans += a[i].w;}}if(cnt != n - 1) puts("-1");else cout << ans << endl;return 0;
}

普利姆算法

从起点开始遍历，将这个点看作一个集合，然后找离这个集合最近的一个点，然后将这个点放入集合，然后再重复操作。

int mp[N][N];
int vis[N];
int dis[N];
int n, m;
int prime()
{mem(dis, INF);dis[1] = 0;int ans = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){int u = -1, Min = INF;for(int j = 1; j <= n; j ++){if(!vis[j] && dis[j] < Min){u = j;Min = dis[j];}}if(u == -1) return -1;vis[u] = 1;ans += dis[u];for(int j = 1; j <= n; j ++){if(!vis[j] && mp[u][j] != INF && dis[j] > mp[u][j]){dis[j] =  mp[u][j];}}}return ans;
}
int main()
{mem(mp, INF);cin >> n >> m;while(m --){int u, v, w;cin >> u >> v >> w;mp[u][v] = w;mp[v][u] = w;}cout << prime();return 0;
}

最短路

迪杰斯特拉

朴素版迪杰斯特拉 O(n^2)

vector<PII>mp[20010];
int dis[20010], vis[20010];
int n, m;
void dijkstra()
{mem(dis, 0x3f);dis[0] = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){int u = -1, Min = 999999;for(int j = 0; j < n; j ++){if(!vis[j] && Min > dis[j]){u = j;Min = dis[j];}}if(u == -1) break;vis[u] = 1;for(int j = 0; j < mp[u].size(); j ++){int v = mp[u][j].xx;int w = mp[u][j].yy;if(!vis[v]){dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w);}}}
}
int main()
{cin >> n >> m;while(m --){int u, v, w;cin >> u >> v >> w;mp[u].push_back({v, w});}dijkstra();for(int i = 1; i < n; i ++){if(dis[i] != INF){cout << dis[i] << " ";}}return 0;
}

floyd

	for(int k = 1; k <= n; k ++){for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = 1; j <= n; j ++){f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);}}}

拓扑排序

将所有点统计入度，入度为0的点为根节点，将根节点入队列，然后取出头节点，删去头节点，将头节点连着的每一个点入度都减一，当减到0时入队，直到元素遍历完，入队顺序就是拓扑顺序。

时间复杂度：O(n + e)

空间复杂度：O(n)

void toop()
{queue<int>q;for(int i = 0; i < n; i ++){if(in[i] == 0)q.push(i);}int cnt = 0, ans = 0;while(q.size()){int now = q.front();q.pop();cnt ++;for(int i = 0; i < n; i ++){if(mp[now][i] != -1){in[i] --;if(in[i] == 0)q.push(i);dis[i] = max(dis[now] + mp[now][i], dis[i]);ans = max(dis[i], ans);}}}if(cnt != n) puts("Impossible");else cout << ans << endl;
}

欧拉回路

度全都是偶数即为欧拉图

八、查找表

静态：折半；动态：二叉排序树

二分查找

//分成[l, mid][mid + 1, r]找min
int erfen()
{int l = 0, r = INF;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(check(mid))r = mid;else l = mid + 1;}return l;
}
// 分成[l, mid - 1][mid, r], 找max
int erfen()
{int l = 0, r = INF;while(l < r){int mid = l + r + 1 >> 1;if(check(mid))l = mid;else r = mid - 1;}return l;
}

二叉排序树

左边的儿子一定比根节点小，右边的儿子大于等于根节点

查找

//查找的递归算法
BSTNode *Search(BSTNode *root, int x)
{if(root->data == x){return root;}else if(x < root->data){return Search(root->left, x);}else{return Search(root->right, x);}
}

插入

//插入的递归算法
BSTNode *Insert(BSTNode *root, int x){if(root == NULL){root = CreateTreeNode(x);return root;}if(x < root->data){root->left = Insert(root->left, x);}if(x > root->data){root->right = Insert(root->right, x);}return root;
}

删除

删叶子节点：直接删
删有一个子树的：把子树连到要删除的节点的根节点上
删有两个节点的：找到右子树的最小值，然后用1、2操作删除它，然后安到我们要删的节点上

优秀博客：如何从二叉搜索树中删除节点？ (baidu.com)

平均查找长度

查找成功的平均查找长度
查找不成功的平均查找长度

九、哈希表

哈希的存储，线性探测，平方探测，拉链探测；查找成功的平均长度，查找不成功的平均长度，ALS

参考( 哈希.docx)

当哈希表后边没表格的时候，再从头开始找

平均查找长度

精彩博客：哈希表平均查找长度_数据结构哈希表查找长度_好饿呀~～～的博客-CSDN博客

十、排序

基本思想：冒泡，插入，希尔，快排，堆排，归并排序，桶排，基数排序的思想以及应用，优先级的比较，复杂度的比较，总体性能的比较，对序列初始状态的要求，稳定性的问题。

1.基本流程

快排

i指针放l，j指针放r，j–，直到比al小的时候停止，i++，直到比al大的时候停止，然后互换，最后互换ai和al，让al搁中间，然后再递归排序两边的序列

void q_sort(int l, int r)
{int i = l, j = r;if(l > r) return;while(i < j){while(a[j] >= a[l] && i < j)j --;while(a[i] <= a[l] && i < j)i ++;if(i < j) swap(a[i], a[j]);}swap(a[i], a[l]);q_sort(l, i - 1);q_sort(i + 1, r);
}

归并排序

分成单个区间，然后合并的时候两两排序，直到排好

int tmp[N], a[N], n;
//这里为需要背诵的部分，要求：给一个相关题目，能快速写出该模板并调试通过。
//归并排序
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{//递归出口if (l >= r) return;//第一步，分成两个子区间int mid =  l + r >> 1;//第二部，递归处理子区间//要注意这里用的mid和mid+1来划分两区间，建议不要用mid-1和mid来划分merge_sort(q, l, mid);merge_sort(q, mid + 1, r);//第三步，合并排序好的子区间//tips：k为tmp下标，i和j为两个子区间起始位置int k = 0, i = l, j = mid + 1;//排序好的两边取大小，暂存数组tmp挑小的取while (i <= mid && j <= r) {if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];else tmp[k++] = q[j++];}//很可能存在有一子区间没有比较完，由于该区间是排好序的，后面的没比较完，说明都是最大的，直接往tmp后面加即可。while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];//在[l, r]范围中，将tmp数组存的有序值赋给q数组完排序，注意<=r的等号不要漏for (int i = l, j =0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j];
}

堆排序

1.首先将待排序的数组构造成一个大根堆，此时，整个数组的最大值就是堆结构的顶端

2.将顶端的数与末尾的数交换，此时，末尾的数为最大值，剩余待排序数组个数为n-1

3.将剩余的n-1个数再构造成大根堆，再将顶端数与n-1位置的数交换，如此反复执行，便能得到有序数组

注意:升序用大根堆，降序就用小根堆(默认为升序)

int cnt;
int h[N];
void down(int x)
{int t = x;if (x * 2 <= cnt && h[x * 2] > h[t])t = x * 2;if (x * 2 + 1 <= cnt && h[x * 2 + 1] > h[t])t = x * 2 + 1;if (x != t){swap(h[x], h[t]);down(t);}
}
void heap_sort(int l, int r)
{cnt = 0;for (int i = l; i <= r; i++){h[++cnt] = a[i];}for (int i = cnt / 2; i; i--){down(i);}int k = r;while (cnt){a[k --] = h[1];h[1] = h[cnt--];down(1);}
}

计数排序

计算ai的数量，然后算它在数组中是第几小的，然后把第几小赋给b数组作为下标，同时b下标=a中的值，最后整理下

int a[N], h[N+50];
int b[N];
int n;//如果出现负数 （-10000，10000）整体右移 x+10000 (0,20000)
//如果小数 整体*100
void counting_sort() 
{int w = 100050;memset(h, 0, sizeof h);for (int i = 0; i < n; i++) h[a[i]]++;for (int i = 1; i <= w; i++) h[i] += h[i - 1];for (int i = n-1; i >= 0; i--) b[h[a[i]]--] = a[i];for(int i=1;i<=n;i++)a[i-1]=b[i];
}

桶排序

桶排序的核心思想就是将要排序的数据分到几个有序的桶里，每个桶里的数据再单独进行排序。桶排序完之后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。

int n, w = 100000, a[N];
vector<int> bucket[N];void insert_sort(vector<int>& A) 
{for (int i = 1; i < A.size(); i++) {int key = A[i];int j = i - 1;while (j >= 0 && A[j] > key) {A[j + 1] = A[j];j--;}A[j + 1] = key;}
}
void bucket_sort() 
{int bucket_size = w / n + 1;for (int i = 0; i < n; i++) {bucket[i].clear();}for (int i = 0; i < n; i++) {bucket[a[i] / bucket_size].push_back(a[i]);}int p = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {insert_sort(bucket[i]);for (int j = 0; j < bucket[i].size(); j++) {a[p++] = bucket[i][j];}}
}

// I prefer it
vector<int> bucket[N];
int w = 100000;
void bucket_sort()
{int bucket_size = w/n + 1;for(int i = 0; i < n; i ++)bucket[i].clear();for(int i = 0; i < n; i ++){bucket[a[i]/bucket_size].push_back(a[i]);}int p = 0;for(int i = 0; i < n; i ++){sort(bucket[i].begin(), bucket[i].end());for(auto it : bucket[i])a[p ++] = it;}
}

基数排序

const int N = 100010;
const int W = 100010;
const int K = 100;
int n, w[K], k, cnt[W];
struct Element {int key[K];bool operator<(const Element& y) const {for (int i = 1; i <= k; ++i) {if (key[i] == y.key[i]) continue;return key[i] < y.key[i];}return false;}
} a[N], b[N];
void counting_sort(int p) {memset(cnt, 0, sizeof(cnt));for (int i = 1; i <= n; ++i) ++cnt[a[i].key[p]];for (int i = 1; i <= w[p]; ++i) cnt[i] += cnt[i - 1];for (int i = n; i >= 1; --i) b[cnt[a[i].key[p]]--] = a[i];memcpy(a, b, sizeof(a));
}
void radix_sort() {for (int i = k; i >= 1; --i) {counting_sort(i);}
}