小蓝有一个保险箱，保险箱上共有 n 位数字。小蓝可以任意调整保险箱上的每个数字，每一次操作可以将其中一位增加 1 或减少 1。当某位原本为 9 或 0 时可能会向前（左边）进位/退位，当最高位（左边第一位）上的数字变化时向前的进位或退位忽略。

例如:
00000 的第 5 位减 1 变为 99999；99999 的第 5 位减 1 变为 99998；00000 的第 4 位减 1 变为 99990；97993 的第 4 位加 1 变为 98003；99909 的第 3 位加 1 变为 00009。保险箱上一开始有一个数字 x，小蓝希望把它变成 y，这样才能打开它，问小蓝最少需要操作的次数。

输入格式:

输入的第一行包含一个整数 n。第二行包含一个 n 位整数 x。第三行包含一个 n 位整数 y。

输出格式:

输出一行包含一个整数表示答案。

数据范围:

对于 $30\%$ 的评测用例，$1\le n\le 300$；
对于 $60\%$ 的评测用例，$1\le n\le 3000$；
对于所有评测用例，$1\le n\le 10^5$，x,y 中仅包含数字 0 至 9，可能有前导零。

解题思路：

• 核心在于当x与y的相应位之间的差距过大，可以通过向高位进位（借位）缩短距离
• 需要注意进位借位虽然可以减少当前位上的修改次数，但可能导致高位上需要更多修改
• 这种不确定性促使了dp的应用，否则程序将退化为贪心算法，无法保证求出最优解
• 创建dp数组，存储的元素是从最低位到当前位将x变成y所需的修改次数
• dp的下标有两个，一个用来标识位数，另一个用来表示当前位进位（借位）或直接修改所需的修改次数

n = int(input())
x = [int(i) for i in input()]
y = [int(i) for i in input()]
# dp[i][0]:第i位采用直接修改策略的前提下，区间[i:]所需的修改次数
# dp[i][1]:第i位采用向上进位策略的前提下，区间[i:]所需的修改次数
# dp[i][2]:第i位采用向上借位策略的前提下，区间[i:]所需的修改次数
dp = [[0]*3 for _ in range(n)]
# 特殊处理最低位
dp[n-1][0] = abs(x[n-1]-y[n-1])
dp[n-1][1] = abs(10+y[n-1]-x[n-1])
dp[n-1][2] = abs(10+x[n-1]-y[n-1])
# 从低位向高位搜索
for i in range(n-2,-1,-1):p = x[i]q = y[i]dp[i][0] = min(dp[i+1][0]+abs(p-q), dp[i+1][1]+abs(p+1-q), dp[i+1][2]+abs(p-1-q))dp[i][1] = min(dp[i+1][0]+abs(10+q-p), dp[i+1][1]+abs(10+q-p-1), dp[i+1][2]+abs(10+q-p+1))dp[i][2] = min(dp[i+1][0]+abs(10+p-q),dp[i+1][1]+abs(10+p+1-q),dp[i+1][2]+abs(10+p-1-q))
print(min(dp[0][0],dp[0][1],dp[0][2]))

问题描述:

这天，一只蜗牛来到了二维坐标系的原点。 在 x 轴上长有 n 根竹竿。它们平行于 y 轴，底部纵坐标为 0 ，横坐标分别为 $x_1,x_2,...,x_n$ 。竹竿的高度均为无限高，宽度可忽略。蜗牛想要从原点走到第 n 个竹竿的底部也就是坐标 $(x_n,0)$ 。它只能在 x 轴上或者竹竿上爬行，在 x 轴
上爬行速度为 1 单位每秒；由于受到引力影响，蜗牛在竹竿上向上和向下爬行 的速度分别为 0.7 单位每秒和 1.3 单位每秒。 为了快速到达目的地，它施展了魔法，在第 i 和 i + 1 根竹竿之间建立了传送门（0 < i < n ），如果蜗牛位于第 i 根竹竿的高度为 $a_i$ 的位置 $(x_i,a_i)$ ，就可以瞬间到达第 i+1 根竹竿的高度为 $b_{i+1}$ 的位置 $(x_{i+1},b_{i+1})$， 请计算蜗牛最少需要多少秒才能到达目的地。

输入格式:

输入共 1 + n 行，第一行为一个正整数 n ；
第二行为 n 个正整数 $x_1,x_2,...,x_n$ ；
后面 n − 1 行，每行两个正整数 $a_i,b_{i+1}$ 。

输出格式：

输出共一行，一个浮点数表示答案（四舍五入保留两位小数）。

# 状态机dp
# 内存超限
up = 0.7
down = 1.3
n = int(input())
x = [0] + [int(i) for i in input().split()]
a = [0]*(n+1)
b = [0]*(n+1)
for i in range(1,n):p,q = map(int,input().split())a[i] = pb[i+1] = q
# dp[i][0]:到达节点i所需要的最短时间
# dp[i][1]:到达第i个传送门所需要的最短时间
dp = [[0]*(n+1) for i in range(n+1)]
# 初始位置0
dp[1][0] = x[1]
dp[1][1] = x[1] + a[1]/up
for i in range(2,n+1):# 到达当前节点有四种方式（包含两个出发点和两条路径）d = x[i] - x[i-1]# 计算出从上一个传送终点 b[i-1] -> a[i-1] 的路径耗时temp = 0if b[i-1] > a[i-1]:# downtemp += (b[i-1]-a[i-1])/downelse:temp += (a[i-1]-b[i-1])/updp[i][0] = min(dp[i-1][0]+d,dp[i-1][0]+a[i-1]/up+b[i]/down,dp[i-1][1]+b[i-1]/down+d,dp[i-1][1]+temp+b[i]/down)dp[i][1] = min(dp[i-1][0]+d+b[i]/up,dp[i-1][0]+a[i-1]/up,dp[i-1][1]+b[i-1]/down+d+a[i]/up,dp[i-1][1]+temp)
print(f'{dp[n][0]:.2f}')

# 状态机dp + 滚动数组优化
up = 0.7
down = 1.3
n = int(input())
x = [0] + [int(i) for i in input().split()]
a = [0]*(n+1)
b = [0]*(n+1)
for i in range(1,n):p,q = map(int,input().split())a[i] = pb[i+1] = q
# dp[0]:到达节点i所需要的最短时间
# dp[1]:到达第i个传送门所需要的最短时间
dp = [0]*2
# 初始位置0
dp[0] = x[1]
dp[1] = x[1] + a[1]/up
for i in range(2,n+1):pre_0 = dp[0]pre_1 = dp[1]# 到达当前节点有四种方式（包含两个出发点和两条路径）d = x[i] - x[i-1]# 计算出从上一个传送终点 b[i-1] -> a[i-1] 的路径耗时temp = 0if b[i-1] > a[i-1]:# downtemp += (b[i-1]-a[i-1])/downelse:temp += (a[i-1]-b[i-1])/updp[0] = min(pre_0+d,pre_0+a[i-1]/up+b[i]/down,pre_1+b[i-1]/down+d,pre_1+temp+b[i]/down)dp[1] = min(pre_0+d+b[i]/up,pre_0+a[i-1]/up,pre_1+b[i-1]/down+d+a[i]/up,pre_1+temp)
print(f'{dp[0]:.2f}')