python如何判断点是否在旋转矩形内部矢量

1. 简介

在计算机图形学和计算几何中，经常会遇到判断一个点是否在一个旋转矩形内部的问题。本项目方案旨在使用Python提供一种高效准确的算法来解决这个问题。

2. 算法原理

方法一：

为了判断一个点是否在一个旋转矩形内部，我们可以将问题转化为判断点是否在一个未旋转的矩形内部。首先，我们需要了解旋转矩形的属性和特点：

旋转矩形的中心点坐标(xc, yc)
旋转矩形的宽度w和高度h
旋转矩形的旋转角度θ

接下来，我们需要将旋转矩形坐标系转换为以矩形中心为原点的笛卡尔坐标系。将点的坐标(x, y)也进行坐标系转换，得到相对于中心点的坐标(x’, y’)：

xc, yc = center_x, center_y  # 旋转矩形中心坐标
x, y = point_x, point_y  # 待判断点坐标# 将点坐标转换为相对于中心点的坐标
x_prime = x - xc
y_prime = y - yc

接下来，我们需要进行旋转矩形的逆旋转操作，将旋转矩形恢复为未旋转的矩形，即将旋转角度θ变为0。这个操作可以通过坐标系变换实现，具体变换矩阵如下：

cosθ  -sinθ
sinθ  cosθ

旋转矩形的4个顶点在逆旋转之后会变成未旋转矩形的4个顶点。我们可以根据矩形的宽度和高度计算出这4个顶点的坐标，然后将这4个顶点的坐标表示为向量的形式。

import math# 计算旋转矩形的顶点坐标
w, h = width, height  # 旋转矩形的宽度和高度
theta = rotation_angle  # 旋转角度cos_theta = math.cos(theta)
sin_theta = math.sin(theta)# 计算旋转矩形的顶点坐标
v1 = [-w/2, -h/2]
v2 = [w/2, -h/2]
v3 = [w/2, h/2]
v4 = [-w/2, h/2]# 逆旋转操作，恢复未旋转的矩形
def inverse_rotation(v):x = v[0] * cos_theta - v[1] * sin_thetay = v[0] * sin_theta + v[1] * cos_thetareturn [x, y]v1 = inverse_rotation(v1)
v2 = inverse_rotation(v2)
v3 = inverse_rotation(v3)
v4 = inverse_rotation(v4)

完整代码

import mathdef inverse_rotation(v, cos_theta, sin_theta):x = v[0]*cos_theta - v[1]*sin_thetay = v[0]*sin_theta + v[1]*cos_thetareturn x, yif __name__ == "__main__":center_x, center_y, w, h, theta = 10, 15, 20, 10, math.pi/4x, y = 15, 15xc, yc = center_x, center_yx_prime = x - xcy_prime = y - ycv1 = [-w/2, h/2]v2 = [w/2, -h/2]cos_theta = math.cos(theta)sin_theta = math.sin(theta)v1 = inverse_rotation(v1, cos_theta, sin_theta)v2 = inverse_rotation(v2, cos_theta, sin_theta)if v1[0] < x_prime < v2[0] and v1[1] < y_prime < v2[1]:print("point yes!!!")else:print("point no!!!")

方法二

找到旋转矩形的四个顶点：通过已知的矩形中心点、宽度、高度和旋转角度，可以计算出旋转矩形的四个顶点的坐标。

使用射线法进行判断：从待判断的点出发，向任意方向发射一条射线，计算这条射线与旋转矩形的边的交点数。如果交点数为奇数，则点在矩形内；如果交点数为偶数，则点在矩形外。

具体步骤如下：

首先，计算矩形的四个顶点的坐标。
然后，对于每条边，检查射线是否与其相交。
如果与某条边相交，且交点在射线上方（或下方），则计数加一。
最后，判断交点数的奇偶性，确定点是否在矩形内。

import mathdef point_inside_rotated_rectangle(point, rectangle_center, width, height, rotation_angle):# 计算矩形的四个顶点坐标angle_rad = math.radians(rotation_angle)dx = width / 2dy = height / 2cos_theta = math.cos(angle_rad)sin_theta = math.sin(angle_rad)vertices = [(rectangle_center[0] + dx * cos_theta - dy * sin_theta, rectangle_center[1] + dx * sin_theta + dy * cos_theta),(rectangle_center[0] - dx * cos_theta - dy * sin_theta, rectangle_center[1] + dx * sin_theta - dy * cos_theta),(rectangle_center[0] - dx * cos_theta + dy * sin_theta, rectangle_center[1] - dx * sin_theta - dy * cos_theta),(rectangle_center[0] + dx * cos_theta + dy * sin_theta, rectangle_center[1] - dx * sin_theta + dy * cos_theta)]# 使用射线法判断点是否在矩形内intersections = 0for i in range(4):x1, y1 = vertices[i]x2, y2 = vertices[(i + 1) % 4]# 判断射线是否与边相交if (point[1] > min(y1, y2)) and (point[1] <= max(y1, y2)) and (point[0] <= max(x1, x2)):x_intersect = (point[1] - y1) * (x2 - x1) / (y2 - y1) + x1if x_intersect > point[0]:intersections += 1# 如果交点数为奇数，则点在矩形内return intersections % 2 == 1# 示例
point = (1, 1)  # 待判断的点坐标
rectangle_center = (0, 0)  # 矩形中心点坐标
width = 4  # 矩形宽度
height = 2  # 矩形高度
rotation_angle = 45  # 旋转角度# 判断点是否在旋转矩形内
result = point_inside_rotated_rectangle(point, rectangle_center, width, height, rotation_angle)
print(f"Point {point} is inside the rotated rectangle: {result}")