46. 全排列

回溯算法。可以手绘一个二叉树，考虑所有可能的情况。
每次选择一个元素，下次就选择未被选择的数，这样到达终止条件后就将当前路径添加到结果中。
完后撤销上次的选择，尝试下一个选择。

class Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:res = []    # 存放所有符合条件结果的集合path = []   # 存放当前符合条件的结果# 回溯函数def backtrack(nums):# 终止条件if len(path) >= len(nums): res.append(path[:]) # 保存副本return # 遍历所有的元素for index in range(len(nums)):# 只要不在path里的if nums[index] not in path:# 添加path.append(nums[index])# 递归，尝试继续添加，看看结果backtrack(nums)# 回溯，不添加path.pop()backtrack(nums)return res

47. 全排列 II

与上一题的区别在于含有重复元素，并且要求结果不能重复。
比方说[1,1,2]，那么第一条路径，选择1，继续选择1，选择2；
第二条路径，从第二个1开始，如果再选择第一个1，那么就重复了，所以跳过第一个1，选择2，这个时候再选择1.

class Solution:def permuteUnique(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:res = []path = []nums.sort()  # 排序used = [False] * len(nums)  # 初始化标记数组def backtrack():if len(path) == len(nums):res.append(path[:])  # 添加到结果中returnfor i in range(len(nums)):# 跳过已经使用过的数字或者重复的数字if used[i] or (i > 0 and nums[i] == nums[i-1] and not used[i-1]):continuepath.append(nums[i])used[i] = Truebacktrack()  # 递归调用path.pop()  # 回溯used[i] = False  # 回溯backtrack()return res

这段代码i > 0 and nums[i] == nums[i-1] and not used[i-1]用于避免在递归过程中生成重复的排列。它的工作原理如下：

• i > 0确保当前元素nums[i]不是序列的第一个元素，因为我们只需要检查当前元素与前一个元素是否相同，而第一个元素前面没有元素可以比较。
• nums[i] == nums[i-1]检查当前元素nums[i]是否与前一个元素nums[i-1]相同。如果它们相同，那么有可能产生重复的排列，因为相同的数字在不同的位置被选中。
• not used[i-1]检查前一个相同的元素nums[i-1]在当前的递归路径中是否没有被使用。如果used[i-1]是False（即not used[i-1]是True），这意味着前一个相同的元素尚未被加入到当前的排列中。在这种情况下，我们跳过当前元素nums[i]的选择，以避免产生重复的排列。

结合这三个条件，这段代码的目的是在nums已经排序的前提下，只有当当前元素与前一个元素相同，并且前一个相同的元素没有在当前排列（递归路径）中使用时，才跳过当前元素的选择。这样做是为了确保每种元素值的排列在结果集中只出现一次，即使这个元素值在原始数组中出现多次。

例如，对于数组[1,1,2]，第一个1和第二个1是相同的。在排列[1, _, _]的第二个位置上，如果第一个1已经被使用，我们还可以选择第二个1；但是如果第一个1没有被使用（意味着我们是从第二个1开始构建排列的），那么我们就不应该再次选择第二个1，因为这会导致重复的排列。

22. 括号生成

隐式的回溯。因为字符串是不可变类型，所以每次递归传入一个新的就行，这样原始的字符串是不变的。

class Solution:def generateParenthesis(self, n: int) -> List[str]:res = [] # 总体结果temp = '' # 当前结果字符串left, right = 0,0 # 左右括号计数def generate(temp, left, right):# 终止条件if len(temp) == 2*n:res.append(temp)return # 回溯# 当左括号数量不够时，递归，传入新的字符串，实现隐式回溯if left < n:generate(temp+'(', left+1, right)if right < left:generate(temp+')', left, right+1)generate(temp, left, right)return res

使用path + '('或path + ')'的方式来“回溯”，而不是显式地向path添加括号然后再移除，是一种更简洁且有效的方法来处理字符串构建问题中的回溯。这种方法的优势在于每次递归调用时创建了一个新的字符串，因此不需要在每一层递归结束时撤销上一步的操作。这样，每一次递归调用都是基于当前路径的一个全新拷贝，反映了在那一点上做出的所有选择。

在这种方法下，path变量在每次递归调用时都保持不变，因为字符串在Python中是不可变的。当你通过path + '('或`path

• ')'传递给下一层递归时，实际上是创建了一个包含了当前选择的新字符串。这样，当递归函数返回时，它返回到了拥有之前状态的path`上，从而实现了自然的回溯，无需手动撤销选择。

这种隐式回溯的做法不仅适用于字符串操作，在处理数组或列表时，如果采用类似的不修改原数组（或列表）而是通过传递新的数组（或列表）副本的方式，也可以达到隐式回溯的效果。但是要注意，对于数组或列表，这种做法可能会带来额外的空间消耗。在处理字符串时，由于字符串的不可变性，这种做法既自然又高效。

17. 电话号码的字母组合

规则是每个数字对应的字母不能组合，只能和其余的数字的字母组合。
每条路径都是选择一个数字的某一个字母，这样形成的路径长度就等于数字数（即终止条件）
回溯主体：依次选择一个数字的字母们，然后挨个选择后续数字的字母。

详细步骤：

1. 建立映射表：首先建立一个映射表，将每个数字映射到相应的字母。
2. 回溯函数：实现一个回溯函数，用于生成所有可能的字母组合。
   • 递归终止条件：当生成的组合长度等于输入数字字符串的长度时，将该组合添加到结果列表中。
   • 遍历当前数字对应的所有字母：对于当前数字，遍历它映射到的所有字母，然后将当前字母添加到当前路径（组合）中，并递归地继续处理下一个数字。
   • 回溯：递归调用返回后，撤销上一步的选择，尝试下一个可能的字母。
3. 开始回溯：从输入的第一个数字开始，调用回溯函数生成所有可能的字母组合。

下面是具体的代码实现：

class Solution:def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:# 如果输入为空，则直接返回空列表if not digits:return []# 建立数字到字母的映射表digit_to_letters = {'2': 'abc', '3': 'def', '4': 'ghi', '5': 'jkl','6': 'mno', '7': 'pqrs', '8': 'tuv', '9': 'wxyz'}# 结果列表res = []# 回溯函数def backtrack(index, path):# 如果当前路径的长度等于输入数字的长度，添加到结果列表if len(path) == len(digits):res.append(path)return# 获取当前数字对应的所有可能字母possible_letters = digit_to_letters[digits[index]]# 遍历所有可能字母for letter in possible_letters:# 回溯，考虑当前字母backtrack(index + 1, path + letter)# 从第一个数字开始回溯backtrack(0, "")return res

在这段代码中，backtrack函数负责生成所有可能的字母组合。它使用index来跟踪当前处理到的数字位置，并使用path来存储当前生成的字母组合。每次递归调用都会向path中添加一个新的字母，直到生成了一个完整的字母组合，然后将其添加到结果列表中。通过递归地遍历每个数字映射到的所有可能字母，这段代码能够生成并返回所有可能的字母组合。

40. 组合总和 II

每个元素只能使用一次。
需要注意的是要先排序，同时判断每个元素是不是在每次路径选择时被重复选择。

class Solution:def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:candidates.sort()  # 排序res = []def backtrack(start, path, target):if target == 0:res.append(path[:])  # 找到一个组合，添加到结果列表中returnfor i in range(start, len(candidates)):# 跳过同一树层使用过的元素，避免重复组合if i > start and candidates[i] == candidates[i - 1]:continueif candidates[i] > target:break  # 由于candidates已排序，当前数字大于target，则后面的数字都不可能符合条件，可以直接结束循环# 递归调用，不再需要used数组backtrack(i + 1, path + [candidates[i]], target - candidates[i])backtrack(0, [], target)return res

理解这个条件的关键在于区分递归中的“深度”（递归调用的层次）与“同一层上的遍历”。这个条件实际上是用来处理在同一层递归上的重复元素，而不是在不同的递归深度上。让我来详细解释一下：

在回溯算法中，start参数的作用是控制在当前递归层次上，我们从candidates数组的哪个位置开始遍历。每次递归调用backtrack时，我们都将start设置为`i

• 1，这表示在下一层递归中，我们将从candidates数组中start`位置的元素开始遍历，从而保证了每个元素在每个组合中只被使用一次。

当我们说“同一层上的遍历”时，我们是指在当前递归深度中，对candidates数组的遍历。而if i > start and candidates[i] == candidates[i - 1]:这个条件的目的是为了确保，在这种同一层的遍历中，如果当前元素和前一个元素相同（即出现重复），我们将跳过当前元素，从而避免产生重复的组合。

• i > start确保了我们不在递归的最开始判断这个条件，因为在每层递归的开始，i == start。只有当我们在同一层的后续遍历中（即已经至少选择了一个元素加入到当前组合中），这个条件才会被评估。
• candidates[i] == candidates[i - 1]是检查当前元素是否和前一个元素相同。

在这种情况下，i > start并不意味着我们已经移动到了下一层递归，而是在当前递归层次（深度）的遍历中，我们已经向前移动了至少一步。这个条件帮助我们仅在当前层次（而不是在开始新的递归层次时）跳过重复元素。

总之，这个条件确保我们只在同一层递归中遇到连续重复元素时跳过它们，从而避免在结果集中出现重复的组合，而不是阻止在递归的不同层次中重新选择先前已经考虑过的元素。

90. 子集 II

遇见含有重复元素的，必须先重排，然后每次都要考虑同一层递归中的重复元素不能选择。
正确的逻辑是：在同一层的递归中，如果当前元素和它之前的元素相同，那么就跳过当前元素，以避免生成重复的子集。但是，你的代码中跳过重复元素的条件写错了位置，应该是在同一次递归调用的循环中，而不是基于index和当前i的比较。

class Solution:def subsetsWithDup(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:res = []path = []nums.sort()  # 对nums排序以方便处理重复元素def back(start, path):res.append(path[:])  # 添加当前路径到结果列表for i in range(start, len(nums)):# 跳过当前层的重复元素if i > start and nums[i] == nums[i-1]:continue# 递归调用，考虑包含当前元素的子集back(i + 1, path + [nums[i]])back(0, [])return res

改动点说明：

• 修改了back函数的参数名从index变为start，这样可能更清晰地表示这个参数的作用，即表示递归时遍历的起始位置。
• for i in range(start, len(nums)):保证了每次递归只考虑当前元素之后的元素，避免重复生成子集。
• if i > start and nums[i] == nums[i-1]:这个条件确保了跳过那些在当前递归层次中已经考虑过的、重复的元素。注意这里的逻辑是i > start而不是i > index。这是因为我们希望跳过的是同一递归层次上的重复元素，而start正是这一层递归开始考虑元素的索引。

通过这种方式，即使nums中包含重复元素，也能够正确生成所有不重复的子集。

79. 单词搜索

尝试从每个格子出发，在上下左右搜索，看是否能找到可行路径。如果不能找到，就继续下一个格子继续找。

class Solution:def exist(self, board: List[List[str]], word: str) -> bool:# 获取网格的行数和列数rows, cols = len(board), len(board[0])# 定义回溯函数def backtrack(row, col, index):# 终止条件：如果当前字符索引等于单词长度，说明已经找到匹配的单词if index == len(word):return True# 检查边界条件，以及当前格子字符是否匹配单词中对应的字符if row < 0 or row >= rows or col < 0 or col >= cols or board[row][col] != word[index]:return False# 先暂时标记这个格子，防止再次访问board[row][col] = '#'# 检查当前格子的上下左右四个方向for dx, dy in [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]:# 对于每个方向，递归地调用回溯函数if backtrack(row + dx, col + dy, index + 1):# 如果找到一条正确的路径，则直接返回Truereturn True# 如果当前路径不通，撤销之前的标记（回溯到上一状态）board[row][col] = word[index]return False# 从网格的每个格子出发，尝试匹配wordfor i in range(rows):for j in range(cols):# 以网格的(i, j)格子作为起点，尝试匹配wordif backtrack(i, j, 0):  # 0代表从word的第一个字符开始匹配return True# 如果所有格子都无法匹配整个word，则返回Falsereturn False

这个代码实现的核心思想是利用回溯算法搜索网格中的路径，以匹配给定的单词word。算法从网格的每一个格子开始尝试，对于每个起点，都尝试在网格中向四个方向扩展路径，以匹配word中的下一个字符。每当一个字符匹配成功，算法就递归地继续向前匹配下一个字符，直到所有字符都成功匹配，或者无法继续匹配为止。

在搜索过程中，为了避免同一个格子被重复使用，在访问一个格子之后，会暂时将其标记为已访问状态（这里用字符’#'标记）。如果从当前格子出发无法完成匹配，或者已经成功找到匹配的路径，就将格子恢复为原来的字符，以便其他路径的搜索可以正常使用该格子。这种标记和恢复原状的操作是回溯算法的典型特征，它使得算法可以探索所有可能的路径，寻找解决方案。