一.范数（Norms）

1.什么是范数？

范数是一个向量空间V的函数，每一个属于向量空间V的向量x都匹配了一个实数（它的长度）：

2.范数的性质？

齐次性：

正定性：

三角不等式：

3.什么是曼哈顿范数？

对于（n维向量），称为曼哈顿范数，也称作范数

4.什么是欧几里得距离？

对于（n维向量），称为欧几里得距离，也称作范数。

5.向量的p范数？

，当p越大，图像越方,二维情况如下：

二.向量的内积

1.什么是双线性映射（bilinear mapping）？

对于，存在：

2.什么是内积（Inner product）？

如果V是一个向量空间，并且存在双线性映射，那么

称这个映射是对称的：

称这个映射是正定的：对于任何

一个正定，对称的双线性映射称为向量空间V上的内积（Inner Product），一般写作。

3.什么是内积空间？什么是欧几里得向量空间？

称为内积空间，如果内积操作变为点积，那么称作欧几里得向量空间，这里强调：内积不等于点积，举例：

4.什么是正定（positive definite）矩阵？什么是半正定矩阵？

存在矩阵A：，那么说明矩阵A是正定的，

如果，那么说明矩阵A是半正定的。

5.正定矩阵有什么性质？

• 正定矩阵A的行列式值恒为正
• 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同
• 若A是正定矩阵，那么A的逆矩阵也是正定矩阵
• 两个正定矩阵的和仍是正定矩阵
• 正实数与正定矩阵的积仍是正定矩阵

三.长度和距离（Length and Distance）

1.什么是柯西不等式？

对于内积空间，存在运算，使得不等式成立

2.什么是两个向量之间的距离？什么是两个向量之间的欧几里得距离？

首先介绍距离映射：，对于单个元素：

Distance：对于内积空间来说：

欧几里得距离：当内积变换为点积的时候，称作欧几里得距离。

其中映射d满足：对称，正定，三角不等式。

四.正交投影（Orthogonal Projection）

1.如何求得二维平面的坐标？投影？投影矩阵？

考虑情况：R2向量空间的向量x向子空间投影到直线b上，投影结果为。

• 求坐标λ，有，
• 求投影，求投影长度
• 求投影矩阵，所以

2.如何求得多维空间的坐标？投影？投影矩阵？

考虑情况：，x向更低维度的子空间U投影，。是U的有序基，投影可以被这些有序基线性表示：

• 求投影的坐标λi，最终得到齐次线性方程组：

                

              所以有，

• 求投影：
• 求投影矩阵：，如果基底是正定的，那么，上面计算可以省略。

3.格拉姆施密特法是什么？

格拉姆施密特就是在相同向量空间V中，给定一组基底，求正交基底。

假定有不平行向量a，b，c，我们需要（1）正交化（如下）（2）单位化（自行考虑）

五.旋转（Rotation）

1.R2空间中矩阵的旋转

2.R3空间中矩阵的旋转

分别关于e1，e2，e3的旋转矩阵：

3.吉文斯旋转

六.矩阵的等价、相似、合同

1.什么是矩阵的等价？

矩阵A和B等价的充要条件是对于同型矩阵A和B的秩相等。定义是存在可逆矩阵P和Q，使得A=PBQ。

2.什么是矩阵的合同？

矩阵的合同是指对于同型方阵A和B，存在可逆矩阵P使得。

3.什么是矩阵的相似？

矩阵的相似是指对于同型方阵A和B，存在可逆矩阵P使得。

4.三者关系？

• 等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。
• 相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵
• PQ=E的等价矩阵是相似矩阵
• 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵
• 正惯性指数相同的等价矩阵是合同矩阵
• 合同矩阵未必是相似矩阵
• 相似矩阵未必合同
• 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵
• 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同