这一篇涉及剩余的几个性质
⑤对称性（互易特性）
⑥时/频域卷积
⑦时域微/积分特性
⑧频域微/积分特性

1 对称性（互易特性）

• 总的来说，有：
  若 $f(t)\leftrightarrow F(jw)$
  则 $F(jt)\leftrightarrow 2\pi f(-w)$
  简单说就是：发现一个时域信号 $F(jt)$ 与另一个时域信号 $f(t)$ 经傅里叶变换得到的频谱函数 $F(jw)$ 的图像十分相似，就可以轻松地得到 $F(jt)$ 这个时域信号对应的频谱函数

• 如果 $f(t)$ 为实数偶函数，则其频谱函数 $F(j\omega )$ 是 $\omega$ 的实数偶函数
  若 $f(t)\leftrightarrow F(w)$
  则 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(w)$

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例1、直流信号与冲激信号
由：

$$f(t)=\delta (t)\leftrightarrow F(w)=1$$
则：

$$\mathcal{F}[F(t)]=2\pi \delta (w)$$

例2、求 ${\mathcal{F}}^{-1}[g_{\tau }(t)]$
先判断 $f(t)=f(-t)$ ，是实数偶函数
由：

$$f(t)=g_{\tau }(t)\leftrightarrow F(w)=\tau Sa(\frac{\tau }{2}w)$$

则：

$$F(t)=\tau Sa(\frac{\tau }{2}t)\leftrightarrow \mathcal{F}[F(t)]=2\pi g_{\tau }(w)$$

要求得 $g_{\tau }(w)$，根据线性特性，两边同时乘以 $\frac{1}{2\pi }$，则：

$$\frac{\tau }{2\pi }Sa(\frac{\tau }{2}t)\leftrightarrow g_{\tau }(w)$$

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例3、求 $\mathcal{F}[\frac{1}{t^2+1}]$
注：这里视自变量 $t$ 为 公共自变量 $X$，可以提高辨别度：$\frac{1}{X^2+1^2}$
容易想到的是 $\mathcal{F}[e^{-a|t|}]$ 的分母也是 $X^2+a^2$ （$a$ 是个常数）
当 $a=1$ 时恰好对应：$\mathcal{F}[e^{-|t|}]=\frac{2\ast 1}{X^2+1}$

$$f(t)=\frac{1}{2}{e}^{-|t|}\leftrightarrow F(w)=\frac{1}{w^2+1}$$

则：

$$F(t)=\frac{1}{t^2+1}\leftrightarrow \frac{1}{2}2\pi e^{-|w|}=\pi e^{-|w|}$$

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例4、求 $\mathcal{F}[\frac{1}{t}]$
因为 $\mathcal{F}[Sgn(t)]=\frac{2}{jw}$ ，（$w\ne 0$ ）
若：

$$j\frac{Sgn(t)}{2}\leftrightarrow \frac{1}{w}$$

则：

$$\frac{1}{t}\leftrightarrow j\pi Sgn(-w)=-j\pi Sgn(w)$$

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2 时/频域卷积

2-1 时域卷积

若：

$$\{\begin{array}{l}{f}_1(t)\leftrightarrow F_1(jw)\\ f_2(t)\leftrightarrow F_2(jw)\end{array}$$

则 $f_1(t)\ast f_2(t)\leftrightarrow F_1(jw)\cdot F_2(jw)$
要求 $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 的卷积，即求 ${\mathcal{F}}^{-1}[F_1(jw)\cdot F_2(jw)]$

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证明 $\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw)$ ：

$$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\mathcal{F}[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )\cdot f_2(t-\tau )d\tau ]$$
$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )\cdot f_2(t-\tau )d\tau ]e^{-jwt}dt$$
$d\tau$ 提到外面，$dt$ 提进去：

$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_2(t-\tau )e^{-jwt}dt]f_1(\tau )d\tau$$

其中 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_2(t-\tau )e^{-jwt}dt$ 就是频谱函数
令 $t^{\prime }=t\pm t_0$：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t\pm t_0)e^{-jwt}dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t^{\prime })e^{-jw(t^{\prime }\mp t_0)}d{t}^{\prime }=e^{\pm jw{t}_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t^{\prime })e^{-jw{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }$$

由于 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t^{\prime })e^{-jw{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-jwt}dt$
用 $t$ 替换掉 $t^{\prime }$：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t\pm t_0)e^{-jwt}dt=e^{\pm jw{t}_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-jwt}dt=e^{\pm jw{t}_0}F(jw)$$

其实上面一小段证明的就是傅里叶变换的时移性质
则：

$$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_2(jw){\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-jw\tau }{f}_1(\tau )d\tau$$

其中 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-jw\tau }{f}_1(\tau )d\tau$，可以用 $t$ 代替 $\tau$，则 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-jw\tau }{f}_1(\tau )d\tau =F_1(jw)$
整合后即证得：$\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw)$

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由上面的结论易知：

$$\mathcal{F}[g_{\tau }^2(t)]={\tau }^{2}S{a}^2(\frac{w\tau }{2})$$

2-1-1 时域卷积应用

在求解系统 $ZSR零状态相应$ 时，时域中，$y(t)=f(t)\ast h(t)$，可以先求出 $f(t)与h(t)$ 各自的频谱函数，二者点乘后得到 $y(t)$ 的频谱函数，再进行傅里叶反变换

2-2 频域卷积

直接给出结论：

$$f_1(t)\cdot f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi }{F}_1(jw)\ast F_2(jw)$$

可以搭配 ${\mathcal{F}}^{-1}[f(t)]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(jw)e^{jwt}dw$ 公式记忆，而时域卷积 $\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw)$ 可搭配 $\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-jwt}dt$ 公式记忆

3 时域微/积分特性

3-1 时域微分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(jw)$
则 $\frac{d}{dt}[f(t)]\leftrightarrow jwF(jw)$

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证明 $jwF(jw)$ 的傅里叶反变换为 $\frac{d}{dt}[f(t)]$ ：
由 $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(jw)e^{jwt}dw$，两边同时对 $t$ 求导得：

$$\frac{d}{dt}[f(t)]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(jw)\cdot \frac{d}{dt}(e^{jwt})dw=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }jwF(jw)\cdot e^{jwt}dw$$

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例：冲激信号与直流信号
由 $f(t)=\delta (t)\leftrightarrow F(w)=1$：
则：${\delta }^{(n)}(t)\leftrightarrow (jw{)}^n$

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3-1-1 时域微分特性的应用

易知：可以将一个复杂的信号进行 $n$ 次求导直至变成一个熟悉的信号（已知该信号的频谱函数），将这个熟悉的信号的频谱函数除以 $n$ 次 $jw$ 即可得到复杂信号的频谱函数

• 例：梯形信号
  

对 $f(t)$ 求一阶导得到两端矩形信号，再做一次求导得到4个冲激信号：

3-2 时域积分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(jw)$
则 ${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \pi F(0)\delta (w)+\frac{F(jw)}{jw}$

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证明：

由 ${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau =f(t)\ast u(t)$，根据时域卷积性质 $\mathcal{F}[f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(jw)\cdot F_2(jw)$，易得：

$$\mathcal{F}[f(t)\ast u(t)]=F(jw)\cdot [\pi \delta (w)+\frac{1}{jw}]$$

根据 $\delta (t)$ 的采样性质 $f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$：

$$\mathcal{F}[f(t)\ast u(t)]=\pi F(0)\delta (w)+\frac{F(jw)}{jw}$$

其中 $F(0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{0}dt$

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4 频域微/积分特性

4-1 频域的微分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(jw)$
则 $(-jt{)}^{n}f(t)\leftrightarrow F^{(n)}(jw)$
拓展：$tf(t)\leftrightarrow j{F}^{\prime }(jw)$，$t^{n}f(t)\leftrightarrow j^n{F}^{(n)}(jw)$

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• 例、求 $\mathcal{F}[|t|]$
  其中 $|t|=t\cdot Sgn(t)$，可视 $f(t)=Sgn(t)$，且 $Sgn(t)\leftrightarrow \frac{2}{jw}$
  则：

$$\mathcal{F}[|t|]=j(\frac{2}{jw}{)}^{\prime }=\frac{-2}{w^2}$$

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4-2 频域的积分特性

若 $f(t)\leftrightarrow F(jw)$
则 $\pi f(0)\delta (t)+\frac{f(t)}{-jt}\leftrightarrow {\int }_{-\infty }^{w}F(\eta )d\eta$

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• 例、抽样函数 $Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}$
  由于 $\frac{sin(t)}{t}$ 与 $\frac{f(t)}{-jt}$ 很相似，则视 $f(t)=sin(t)$
  又因为 $sin(t)\leftrightarrow j\pi [\delta (w+1)-\delta (w-1)]$，则：

$$\pi f(0)\delta (t)+\frac{sin(t)}{-jt}\leftrightarrow {\int }_{-\infty }^{w}j\pi [\delta (\eta +1)-\delta (\eta -1)]d\eta$$

则：

$$\frac{sin(t)}{-jt}\leftrightarrow j\pi {\int }_{-\infty }^w[\delta (\eta +1)-\delta (\eta -1)]d\eta$$

$$\frac{sin(t)}{-jt}\leftrightarrow j\pi [u(w+1)-u(w-1)]$$
$$\frac{sin(t)}{t}\leftrightarrow \pi [u(w+1)-u(w-1)]=\pi g_2(w)$$