Leetcode刷题笔记——多维动态规划篇

第一题:最小路径和

Leetcode64：最小路径和：中等题 （详情点击链接见原题）

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小

python代码解法

class Solution:def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:m, n = len(grid), len(grid[0])  # m 行 n 列dp_matrix = [[0] * n for _ in range(m)]dp_matrix[0][0] = grid[0][0]for i in range(1, n):  # dp数组初始化dp_matrix[0][i] = dp_matrix[0][i - 1] + grid[0][i]for j in range(1, m):dp_matrix[j][0] = dp_matrix[j - 1][0] + grid[j][0]for x in range(1, m):for y in range(1, n):dp_matrix[x][y] = min(dp_matrix[x][y - 1] + grid[x][y], dp_matrix[x - 1][y] + grid[x][y])# print(dp_matrix)return dp_matrix[m - 1][n - 1]

第二题:三角形最小路径和

Leetcode120. 三角形最小路径和：中等题 （详情点击链接见原题）

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1

python代码解法

class Solution:def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:dp = [[0 for _ in range(len(tri))] for tri in triangle]dp[0][0] = triangle[0][0]for i in range(1, len(triangle)):for j in range(0, len(triangle[i])):if 0 < j < len(triangle[i]) - 1:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle[i][j]elif j == 0:dp[i][j] = dp[i - 1][j] + triangle[i][j]else:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + triangle[i][j]return min(dp[len(triangle) - 1])

第三题:不同路径

Leetcode62. 不同路径：中等题 （详情点击链接见原题）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

解题思路
机器人从(0 , 0) 位置出发，到 (m - 1, n - 1) 终点

1.确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到 (i, j) 有 dp[i][j] 条不同的路径

2.确定递推公式
dp[i][j] 只能有两个方向来推导出来，即 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]，dp[i - 1][j] 表示从 (0, 0) 的位置到 (i - 1, j) 有几条路径

3.dp数组如何初始化
dp[i][0] 和 dp[0][j] 一定都是1，因为从 (0, 0) 的位置到 (i, 0)和 (0, j) 的路径只有一条

4.确定遍历顺序
递推公式 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j] 都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了

5.举例推导 dp 数组

python代码解法

class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:dp = [[0] * n for _ in range(m)]# dp 数组初始化for row in range(m):dp[row][0] = 1for col in range(1, n):dp[0][col] = 1for row in range(1, m):for col in range(1, n):dp[row][col] = dp[row - 1][col] + dp[row][col - 1]return dp[m - 1][n - 1]

第四题:不同路径 II

Leetcode63. 不同路径 II：中等题 （详情点击链接见原题）

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

python代码解法

class Solution:def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])dp = [[0] * n for _ in range(m)]  # dp 数组初始化if obstacleGrid[0][0] == 1:return 0for row in range(m):if obstacleGrid[row][0] != 1:dp[row][0] = 1else:breakfor col in range(1, n):if obstacleGrid[0][col] != 1:dp[0][col] = 1else:breakfor row in range(1, m):for col in range(1, n):if obstacleGrid[row][col] != 1:dp[row][col] = dp[row - 1][col] + dp[row][col - 1]else:continuereturn dp[m - 1][n - 1]

第五题

Leetcode221. 最大正方形：中等题 （详情点击链接见原题）

在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] : 多补充一行全 0、多一列全 0后 dp[i][j] 的含义为以 matrix[i[j] 为右下角的正方形的最大边长

2. 确定递推公式
dp[r][c] = min(dp[r - 1][c], dp[r][c - 1], dp[r - 1][c - 1]) + 1
翻译成中文为若某格子的值为 1，则以此为右下角的正方形的最大边长为：上面的正方形，左边的正方形，左上的正方形中边长最小的那个，再加上此格

python代码解法

class Solution:def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:if not matrix or len(matrix) < 1 or len(matrix[0]) < 1:return 0row, col = len(matrix), len(matrix[0])maxSide = 0dp = [[0 for _ in range(col + 1)] for _ in range(row + 1)]for r in range(1, row + 1):for c in range(1, col + 1):if matrix[r - 1][c - 1] == '1':dp[r][c] = min(dp[r - 1][c], dp[r][c - 1], dp[r - 1][c - 1]) + 1maxSide = max(maxSide, dp[r][c])return maxSide * maxSide