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2012年认证杯SPSSPRO杯数学建模

D题人机游戏中的数学模型

原题再现：

计算机游戏在社会和生活中享有特殊地位。游戏设计者主要考虑易学性、趣味性和界面友好性。趣味性是本质吸引力，使玩游戏者百玩不厌。网络游戏一般考虑如何搭建安全可靠、丰富多彩的交互平台。人机游戏主要是考虑如何设计模型和算法，使其难度、趣味性达到恰当的平衡，玩家感觉既有难度，又有解决的信心。设计者既要像导演，规划玩家的行为，又要加入一定随机因素，使玩家觉得不是简单重复。所以在游戏创意和模型确定下来后，参数选择和优化变得非常关键。
现在考虑“植物大战僵尸”游戏中的一些简单模型（参赛者不必更深入地了解该游戏）。现在只有三种角色：向日葵、豌豆荚和一种僵尸。向日葵产生阳光，用鼠标点击阳光才能将其收集存储，过一定时间不点击阳光就会消失。种植向日葵和豌豆荚需要花费阳光；豌豆荚当其所在格或右侧有僵尸存在时一粒一粒地发射豌豆，每个豌豆荚内的豌豆数量无限；豌豆向右飞行，打击飞行路线上的僵尸，豌豆不受向日葵和豌豆荚的阻挡，但不能射穿僵尸；僵尸只从屏幕最右边产生，沿着直线从右向左行进，它要吃掉沿途遇到的向日葵和豌豆荚，但会被豌豆打死立即消失。僵尸走到屏幕最左边，则计算机获胜，游戏结束。屏幕上的游戏场地是横平竖直、大小相等的网格，一个格内只能种植一株豌豆荚或向日葵，但可以有任意多个僵尸。
第一阶段问题
假设僵尸 3 步走一个格，豌豆荚发射豌豆的频率与僵尸的步频相等，豌豆飞行 6 格的时间僵尸走一步，僵尸被 9 粒豌豆打中立即消亡。僵尸走到豌豆荚或向日葵所在的格开始吞噬，用走 3 步的时间将其吃掉。向日葵产生 1 朵阳光所用时间僵尸恰好走 4 个格，僵尸走 1 格的时间不点击阳光，阳光就会消失。2 朵阳光可以种植 1 株向日葵，4 朵阳光可以种植 1 棵豌豆荚。场地只有从左至右的 9 个格。
1. 将以上假设用更简洁明了的方式进行复述；
2. 场地只在最左边的 1 个格内有豌豆荚，没有向日葵和阳光。问最小多大间隔产生 1 个僵尸，计算机永远不会赢？
3. 场地在最左边的若干格内种有豌豆荚，没有向日葵和阳光，等间隔每次产生 1 个僵尸。问最少种几棵豌豆荚，使产生僵尸的间隔最小，而计算机永远不会赢。
4. 假设游戏开始时有 6 朵阳光，每次产生 1 个僵尸。请设置最佳的种植方案和僵尸产生方案，使计算机永远不会赢，并且游戏紧张有趣。

整体求解过程概述(摘要)

本文从颇有新意的角度出发，重点研究“植物大战僵尸”的游戏问题。以游戏中的向日葵、豌豆荚和僵尸为讨论对象，利用数学建模的方法，对不同的游戏要求，给出合理有效的设计方案。然后，应用我们所建立的模型，求得问题 3 最优解为最少种 5 棵豌豆荚，使僵尸产生的最小间隔为2m/v ，而计算机永远不会赢。文章的最后部分对问题 4 的三种方案进行了详细分析，选择出了最佳方案为种植 1 株向日葵和 1 棵豌豆荚。

问题分析：

对于问题 1，要求用更简洁明了的方式对题中的假设进行复述。
对于问题 2，题目告诉我们场地只在最左边的 1 个格内有豌豆荚，没有向日葵和阳光。要求我们求出产生 1 个僵尸的最小间隔，使得计算机永远不会赢，也就是要让僵尸永远不能吃掉豌豆荚。经过分析，我们觉得必须先计算出第一只僵尸从产生到被射死时走过的步数以及死时所在的位置。然后就上一只僵尸还在场地上的情形，对下一只僵尸何时产生的情况进行分析，找出最小的产生间隔。
对于问题 3，题目以场地在最左边的若干格内种有豌豆荚，没有向日葵和阳光，等间隔产生 1 个僵尸为已知条件，让我们求出最少种几棵豌豆荚，使产生僵尸的间隔最小，而计算机永远不会赢。本题也涉及到产生僵尸的最小间隔问题，所以我们可以在问题 2所探索出的僵尸产生的最小间隔的情况这个基础上对本题进行分析求解。分别计算出种2—8 棵豌豆荚，每一只僵尸从产生到被射死所走过的步数，以此来计算出在种植不同棵数的情况下，僵尸产生的最小间隔，通过对比，找出其中最小的间隔。
对于问题 4，已经假设游戏开始时有 6 朵阳光，每次产生 1 个僵尸，要让我们设置最佳的种植方案和僵尸产生方案，使计算机永远不会赢，并且游戏紧张有趣。根据所给的 6 朵阳光，我们可以设置出三种不同的种植方案，然后对三种不同方案分别进行分析计算，得出最佳的方案。

模型假设：

（1）僵尸出现的次数为无穷；
（2）豌豆发射子弹跟僵尸进入场地是同时发生的

论文缩略图：

在这里插入图片描述

全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可

部分程序代码：(代码和文档not free)

#1 引入需要的模块
import pygame
import random
#1 配置图片地址
IMAGE_PATH = 'imgs/'
#1 设置页面宽高
scrrr_width=800
scrrr_height =560
#1 创建控制游戏结束的状态
GAMEOVER = False
#4 图片加载报错处理
LOG = '文件:{}中的方法:{}出错'.format(__file__,__name__)
#3 创建地图类
class Map():#3 存储两张不同颜色的图片名称map_names_list = [IMAGE_PATH + 'map1.png', IMAGE_PATH + 'map2.png']#3 初始化地图def __init__(self, x, y, img_index):self.image = pygame.image.load(Map.map_names_list[img_index])self.position = (x, y)# 是否能够种植self.can_grow = True#3 加载地图def load_map(self):MainGame.window.blit(self.image,self.position)
#4 植物类
class Plant(pygame.sprite.Sprite):def __init__(self):super(Plant, self).__init__()self.live=True# 加载图片def load_image(self):if hasattr(self, 'image') and hasattr(self, 'rect'):MainGame.window.blit(self.image, self.rect)else:print(LOG)
#5 向日葵类
class Sunflower(Plant):def __init__(self,x,y):super(Sunflower, self).__init__()self.image = pygame.image.load('imgs/sunflower.png')self.rect = self.image.get_rect()self.rect.x = xself.rect.y = yself.price = 50self.hp = 100#5 时间计数器self.time_count = 0#5 新增功能：生成阳光def produce_money(self):self.time_count += 1if self.time_count == 25:MainGame.money += 5self.time_count = 0#5 向日葵加入到窗口中def display_sunflower(self):MainGame.window.blit(self.image,self.rect)
#6 豌豆射手类
class PeaShooter(Plant):def __init__(self,x,y):super(PeaShooter, self).__init__()# self.image 为一个 surfaceself.image = pygame.image.load('imgs/peashooter.png')self.rect = self.image.get_rect()self.rect.x = xself.rect.y = yself.price = 50self.hp = 200#6 发射计数器self.shot_count = 0#6 增加射击方法def shot(self):#6 记录是否应该射击should_fire = Falsefor zombie in MainGame.zombie_list:if zombie.rect.y == self.rect.y and zombie.rect.x < 800 and zombie.rect.x > self.rect.x:should_fire = True#6 如果活着if self.live and should_fire:self.shot_count += 1#6 计数器到25发射一次if self.shot_count == 25:#6 基于当前豌豆射手的位置，创建子弹peabullet = PeaBullet(self)#6 将子弹存储到子弹列表中MainGame.peabullet_list.append(peabullet)self.shot_count = 0#6 将豌豆射手加入到窗口中的方法def display_peashooter(self):MainGame.window.blit(self.image,self.rect)#7 豌豆子弹类
class PeaBullet(pygame.sprite.Sprite):def __init__(self,peashooter):self.live = Trueself.image = pygame.image.load('imgs/peabullet.png')self.damage = 50self.speed  = 10self.rect = self.image.get_rect()self.rect.x = peashooter.rect.x + 60self.rect.y = peashooter.rect.y + 15def move_bullet(self):#7 在屏幕范围内，实现往右移动if self.rect.x < scrrr_width:self.rect.x += self.speedelse:self.live = False#7 新增，子弹与僵尸的碰撞def hit_zombie(self):for zombie in MainGame.zombie_list:if pygame.sprite.collide_rect(self,zombie):#打中僵尸之后，修改子弹的状态，self.live = False#僵尸掉血zombie.hp -= self.damageif zombie.hp <= 0:zombie.live = Falseself.nextLevel()#7闯关方法def nextLevel(self):MainGame.score += 20MainGame.remnant_score -=20for i in range(1,100):if MainGame.score==100*i and MainGame.remnant_score==0:MainGame.remnant_score=100*iMainGame.shaoguan+=1MainGame.produce_zombie+=50def display_peabullet(self):MainGame.window.blit(self.image,self.rect)
#9 僵尸类
class Zombie(pygame.sprite.Sprite):def __init__(self,x,y):super(Zombie, self).__init__()self.image = pygame.image.load('imgs/zombie.png')self.rect = self.image.get_rect()self.rect.x = xself.rect.y = yself.hp = 1000self.damage = 2self.speed = 1self.live = Trueself.stop = False#9 僵尸的移动def move_zombie(self):if self.live and not self.stop:self.rect.x -= self.speedif self.rect.x < -80:#8 调用游戏结束方法MainGame().gameOver()#9 判断僵尸是否碰撞到植物，如果碰撞，调用攻击植物的方法def hit_plant(self):for plant in MainGame.plants_list:if pygame.sprite.collide_rect(self,plant):#8  僵尸移动状态的修改self.stop = Trueself.eat_plant(plant)#9 僵尸攻击植物def eat_plant(self,plant):#9 植物生命值减少plant.hp -= self.damage#9 植物死亡后的状态修改，以及地图状态的修改if plant.hp <= 0:a = plant.rect.y // 80 - 1b = plant.rect.x // 80map = MainGame.map_list[a][b]map.can_grow = Trueplant.live = False#8 修改僵尸的移动状态self.stop = False#9 将僵尸加载到地图中def display_zombie(self):MainGame.window.blit(self.image,self.rect)
#1 主程序
class MainGame():#2 创建关数，得分，剩余分数，钱数shaoguan = 1score = 0remnant_score = 100money = 200#3 存储所有地图坐标点map_points_list = []#3 存储所有的地图块map_list = []#4 存储所有植物的列表plants_list = []#7 存储所有豌豆子弹的列表peabullet_list = []#9 新增存储所有僵尸的列表zombie_list = []count_zombie = 0produce_zombie = 100#1 加载游戏窗口def init_window(self):#1 调用显示模块的初始化pygame.display.init()#1 创建窗口MainGame.window = pygame.display.set_mode([scrrr_width,scrrr_height])#2 文本绘制def draw_text(self, content, size, color):pygame.font.init()font = pygame.font.SysFont('kaiti', size)text = font.render(content, True, color)return text#2 加载帮助提示def load_help_text(self):text1 = self.draw_text('1.按左键创建向日葵 2.按右键创建豌豆射手', 26, (255, 0, 0))MainGame.window.blit(text1, (5, 5))#3 初始化坐标点def init_plant_points(self):for y in range(1, 7):points = []for x in range(10):point = (x, y)points.append(point)MainGame.map_points_list.append(points)print("MainGame.map_points_list", MainGame.map_points_list)#3 初始化地图def init_map(self):for points in MainGame.map_points_list:temp_map_list = list()for point in points:# map = Noneif (point[0] + point[1]) % 2 == 0:map = Map(point[0] * 80, point[1] * 80, 0)else:map = Map(point[0] * 80, point[1] * 80, 1)# 将地图块加入到窗口中temp_map_list.append(map)print("temp_map_list", temp_map_list)MainGame.map_list.append(temp_map_list)print("MainGame.map_list", MainGame.map_list)#3 将地图加载到窗口中def load_map(self):for temp_map_list in MainGame.map_list:for map in temp_map_list:map.load_map()#6 增加豌豆射手发射处理def load_plants(self):for plant in MainGame.plants_list:#6 优化加载植物的处理逻辑if plant.live:if isinstance(plant, Sunflower):plant.display_sunflower()plant.produce_money()elif isinstance(plant, PeaShooter):plant.display_peashooter()plant.shot()else:MainGame.plants_list.remove(plant)#7 加载所有子弹的方法def load_peabullets(self):for b in MainGame.peabullet_list:if b.live:b.display_peabullet()b.move_bullet()# v1.9 调用子弹是否打中僵尸的方法b.hit_zombie()else:MainGame.peabullet_list.remove(b)#8事件处理def deal_events(self):#8 获取所有事件eventList = pygame.event.get()#8 遍历事件列表，判断for e in eventList:if e.type == pygame.QUIT:self.gameOver()elif e.type == pygame.MOUSEBUTTONDOWN:# print('按下鼠标按键')print(e.pos)# print(e.button)#左键1  按下滚轮2 上转滚轮为4 下转滚轮为5  右键 3x = e.pos[0] // 80y = e.pos[1] // 80print(x, y)map = MainGame.map_list[y - 1][x]print(map.position)#8 增加创建时候的地图装填判断以及金钱判断if e.button == 1:if map.can_grow and MainGame.money >= 50:sunflower = Sunflower(map.position[0], map.position[1])MainGame.plants_list.append(sunflower)print('当前植物列表长度:{}'.format(len(MainGame.plants_list)))map.can_grow = FalseMainGame.money -= 50elif e.button == 3:if map.can_grow and MainGame.money >= 50:peashooter = PeaShooter(map.position[0], map.position[1])MainGame.plants_list.append(peashooter)print('当前植物列表长度:{}'.format(len(MainGame.plants_list)))map.can_grow = FalseMainGame.money -= 50#9 新增初始化僵尸的方法def init_zombies(self):for i in range(1, 7):dis = random.randint(1, 5) * 200zombie = Zombie(800 + dis, i * 80)MainGame.zombie_list.append(zombie)#9将所有僵尸加载到地图中def load_zombies(self):for zombie in MainGame.zombie_list:if zombie.live:zombie.display_zombie()zombie.move_zombie()# v2.0 调用是否碰撞到植物的方法zombie.hit_plant()else:MainGame.zombie_list.remove(zombie)#1 开始游戏def start_game(self):#1 初始化窗口self.init_window()#3 初始化坐标和地图self.init_plant_points()self.init_map()#9 调用初始化僵尸的方法self.init_zombies()#1 只要游戏没结束，就一直循环while not GAMEOVER:#1 渲染白色背景MainGame.window.fill((255, 255, 255))#2 渲染的文字和坐标位置MainGame.window.blit(self.draw_text('当前钱数$: {}'.format(MainGame.money), 26, (255, 0, 0)), (500, 40))MainGame.window.blit(self.draw_text('当前关数{}，得分{},距离下关还差{}分'.format(MainGame.shaoguan, MainGame.score, MainGame.remnant_score), 26,(255, 0, 0)), (5, 40))self.load_help_text()#3 需要反复加载地图self.load_map()#6 调用加载植物的方法self.load_plants()#7  调用加载所有子弹的方法self.load_peabullets()#8 调用事件处理的方法self.deal_events()#9 调用展示僵尸的方法self.load_zombies()#9 计数器增长，每数到100，调用初始化僵尸的方法MainGame.count_zombie += 1if MainGame.count_zombie == MainGame.produce_zombie:self.init_zombies()MainGame.count_zombie = 0#9 pygame自己的休眠pygame.time.wait(10)#1 实时更新pygame.display.update()#10 程序结束方法def gameOver(self):MainGame.window.blit(self.draw_text('游戏结束', 50, (255, 0, 0)), (300, 200))print('游戏结束')pygame.time.wait(400)global GAMEOVERGAMEOVER = True
#1 启动主程序
if __name__ == '__main__':game = MainGame()game.start_game()