红黑树平衡艺术：最大化与最小化红色结点比值的策略与实现

一、最大比值的红黑树构造
- 1.1 伪代码示例：
- 1.2 C代码示例：
三、最小比值的红黑树构造
- 3.1 伪代码示例：
- 3.2 C代码示例：
四、结论

红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它通过一系列的规则和旋转操作来保持树的平衡，从而确保基本动态集合操作的时间复杂度为O(log n)。在红黑树中，每个结点都被标记为红色或黑色，这些颜色的使用是为了保持树的平衡性质。本文将探讨如何构造一棵含有n个关键字的红黑树，使得红色内部结点个数与黑色内部结点个数的比值达到最大和最小，并提供相应的伪代码及C代码示例。
在这里插入图片描述

一、最大比值的红黑树构造

为了最大化红色结点与黑色结点的比值，我们需要尽可能多地使用红色结点，同时不违反红黑树的性质。根据红黑树的性质，我们知道：

每个结点要么是红色，要么是黑色。
根结点和所有叶子结点（NIL结点）都是黑色的。
红色结点的两个子结点都是黑色的。
从根结点到每个叶子结点的所有路径上，黑色结点的数量是相同的。

基于这些性质，我们可以通过以下策略来构造树：

根结点为黑色。
每个黑色结点的子结点交替为红色和黑色，以保持性质3。
为了最大化红色结点的数量，我们可以在每个黑色结点下尽可能多地添加红色子结点。

1.1 伪代码示例：

FUNCTION constructMaxRedTree(n)tree = NEW_TREEroot = NEW_NODEroot.color = BLACKroot.key = 0root.left = NILroot.right = NILtree.root = rootFOR i FROM 1 TO ncurrent = tree.rootWHILE current IS NOT NILif i % 2 == 1 THEN  // 奇数位置插入红色结点newNode = NEW_NODEnewNode.color = REDnewNode.key = inewNode.left = NILnewNode.right = NILIF current.key < i THENcurrent.right = newNodeELSEcurrent.left = newNodeENDIFcurrent = current.rightELSE  // 偶数位置插入黑色结点newNode = NEW_NODEnewNode.color = BLACKnewNode.key = inewNode.left = NILnewNode.right = NILIF current.key < i THENcurrent.right = newNodeELSEcurrent.left = newNodeENDIFcurrent = current.leftENDIFENDWHILEENDFORRETURN tree
ENDFUNCTION

1.2 C代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef enum {RED, BLACK} Color;typedef struct Node {int key;Color color;struct Node *left;struct Node *right;struct Node *parent;
} Node;Node *constructMaxRedTree(int n) {Node *tree = (Node *)malloc(sizeof(Node));Node *root = tree;root->color = BLACK;root->key = 0;root->left = NULL;root->right = NULL;root->parent = NULL;for (int i = 1; i <= n; i++) {Node *current = root;while (current != NULL) {if (i % 2 == 1) {  // 插入红色结点Node *newNode = (Node *)malloc(sizeof(Node));newNode->color = RED;newNode->key = i;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;newNode->parent = current;if (current->key < i) {current->right = newNode;} else {current->left = newNode;}current = current->right;} else {  // 插入黑色结点Node *newNode = (Node *)malloc(sizeof(Node));newNode->color = BLACK;newNode->key = i;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;newNode->parent = current;if (current->key < i) {current->right = newNode;} else {current->left = newNode;}current = current->left;}}}return tree;
}

三、最小比值的红黑树构造

为了最小化红色结点与黑色结点的比值，我们应该尽可能多地使用黑色结点。在这种情况下，我们可以构造一棵完全平衡的二叉树，其中每个结点都是黑色的。

3.1 伪代码示例：

FUNCTION constructMinRedTree(n)tree = NEW_TREEroot = NEW_NODEroot.color = BLACKroot.key = 0root.left = NILroot.right = NILtree.root = rootFOR i FROM 1 TO ncurrent = tree.rootWHILE current IS NOT NILIF current.key < i THENnewNode = NEW_NODEnewNode.color = BLACKnewNode.key = inewNode.left = NILnewNode.right = NILnewNode.parent = currentcurrent.right = newNodecurrent = current.rightELSEnewNode = NEW_NODEnewNode.color = BLACKnewNode.key = inewNode.left = NILnewNode.right = NILnewNode.parent = currentcurrent.left = newNodecurrent = current.leftENDIFENDWHILEENDFORRETURN tree
ENDFUNCTION

3.2 C代码示例：

Node *constructMinRedTree(int n) {// ... (与前一个函数相同的初始化代码)// 构造完全平衡的二叉树，每个结点都是黑色for (int i = 1; i <= n; i++) {Node *newNode = (Node *)malloc(sizeof(Node));newNode->color = BLACK;newNode->key = i;newNode->left = NULL;newNode->right = NULL;newNode->parent = current;if (i % 2 == 0) {  // 插入到左子树current->left = newNode;current = current->left;} else {  // 插入到右子树current->right = newNode;current = current->right;}}return tree;
}