【信号与系统 - 2】傅里叶变换与反变换

1 傅里叶变换与频谱密度函数

  • 非周期信号可以看成是 T → + ∞ T\to{+\infty} T+ 的周期信号
    由于 w ↓ = 2 π T ↑ w\downarrow=\frac{2\pi}{T\uparrow} w↓=T2π T T T 无限大,则基波频率 w w w 无限小,可以视为 d w dw dw
    在频谱图上:周期信号表现为离散谱,非周期信号表现为连续谱

F n F_n Fn 写做 F ( n w 0 ) F(nw_0) F(nw0) 时叫谱系数

  • 由于非周期信号的各频谱幅度无限小,但相对大小有异,则需要引入频谱密度函数
    由于
    F ( n w 0 ) = 1 T ∗ ∫ T e − j n w 0 t ∗ f ( t ) d t F(nw_0)=\frac{1}{T}*\int_Te^{-jnw_0t}*f(t)dt F(nw0)=T1Tejnw0tf(t)dt
    两边同时乘以 T T T 后得:

T F ( n w 0 ) = ∫ T e − j n w 0 t ∗ f ( t ) d t TF(nw_0)=\int_Te^{-jnw_0t}*f(t)dt TF(nw0)=Tejnw0tf(t)dt

其中:

T F ( n w 0 ) = F ( n w 0 ) f TF(nw_0)=\frac{F(nw_0)}{f} TF(nw0)=fF(nw0)

这样得到了单位频带上的频谱,即频谱密度函数:

F ( j w ) = T F ( n w ) F(jw)=TF(nw) F(jw)=TF(nw)

f ↓ = 1 T ↑ f\downarrow=\frac{1}{T\uparrow} f↓=T1 T → + ∞ T\to{+\infty} T+,则 f , w → 0 f,w\to{0} f,w0,又因为 T F ( n w 0 ) → 0 TF(nw_0)\to{0} TF(nw0)0,且 n w 0 → w 0 nw_0\to{w_0} nw0w0,根据洛必达法则得到频谱函数:

F ( j w ) = lim ⁡ T → + ∞ ∫ − T 2 T 2 e − j n w t ∗ f ( t ) d t = ∫ − ∞ + ∞ e − j w t f ( t ) d t F(jw)=\lim_{T\to{+\infty}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-jnwt}*f(t)dt=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-jwt}f(t)dt F(jw)=T+lim2T2Tejnwtf(t)dt=+ejwtf(t)dt

2 傅里叶反变换

由于
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ F n e j n w 0 t = lim ⁡ T → + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ F n w 0 e j n w 0 t w 0 f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jnw_0t}=\lim_{T\to{+\infty}}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{F_n}{w_0}e^{jnw_0t}w_0 f(t)=n=+Fnejnw0t=T+limn=+w0Fnejnw0tw0
其中 w 0 → d w w_0\to{dw} w0dw(将提出来的 w 0 w_0 w0 变成 d w dw dw), n w 0 → w 0 nw_0\to{w_0} nw0w0 e j n w 0 t e^{jnw_0t} ejnw0t 变成 e j w 0 t e^{jw_0t} ejw0t),求和变对 w 0 w_0 w0 积分( ∑ \sum 变成 ∫ \int

f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( n w 0 ) w 0 e j w 0 t d w 0 f(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{F(nw_0)}{w_0}e^{jw_0t}dw_0 f(t)=+w0F(nw0)ejw0tdw0

代入谱系数与频谱函数关系式得:

f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( j w ) T w e j w 0 t d w = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( j w ) e j w t d w f(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{F(jw)}{Tw}e^{jw_0t}dw=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(jw)e^{jwt}dw f(t)=+TwF(jw)ejw0tdw=2π1+F(jw)ejwtdw

记:

F [ f ( t ) ] = F ( j w ) \mathscr{F}[f(t)]=F(jw) F[f(t)]=F(jw) F − 1 [ F ( j w ) ] = f ( t ) \mathscr{F}^{-1}[F(jw)]=f(t) F1[F(jw)]=f(t)

3 幅度频谱与相位频谱

  • F ( j w ) F(jw) F(jw) 一般是复函数
    F ( j w ) = ∣ F ( j w ) ∣ e j φ ( w ) F(jw)=|F(jw)|e^{j\varphi(w)} F(jw)=F(jw)ejφ(w)

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