0203逆矩阵-矩阵及其运算-线性代数

文章目录

- 一、逆矩阵的定义、性质和求法
- 二、逆矩阵的初步应用
- 结语

一、逆矩阵的定义、性质和求法

定义7 对于 $n$ 阶矩阵A，如果有一个 $n$ 阶矩阵B，使

$A B = B A = E$

则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵。

定理1 若矩阵A可逆，则 $\vert A\vert \not = 0$

$证明：\\ A可逆，即有A^{-1}，使得AA^{-1}=E\\ |AA^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1\\ \therefore |A|\not=0$

定理2 若 $|A|\not=0$ ，则矩阵A可逆，且
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
其中 $A^{*}$ 为矩阵A的伴随矩阵。

$证明：\\ 由例10知\\ AA^{*}=A^{*}A=|A|E\\ \because |A|\not=0\\ \therefore A\frac{A^{*}}{|A|}=\frac{A^{*}}{|A|}A=E\\ 按逆矩阵的定义，有矩阵A可逆，且\\ A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}$

当 $∣ A ∣ = 0$ 时，A称为奇异矩阵。哟路上面两定理知：A是可逆矩阵的充分必要条件是 $|A|\not=0$ ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论若 $AB=E(或者BA=E)，则B=A^{-1}$

逆矩阵满足下述运算规律：

若A可逆，则 $A^{-1}$ 亦可逆，且 $A^{-1})^{-1}=A$ ;
若A可逆，输入 $\lambda\not=0$ ，则 $\lambda A$ 可逆，且 $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$
若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
若A可逆，则 $A^{T}$ 可逆，且 $A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

当A可逆时，还可定义

$A^0=E,A^{-k}=(A^{-1})^k$

其中k为正整数，这样当A可逆 $\lambda,\mu$ 为整数时，有

$A^{\lambda}A^{\mu}=A^{\lambda+\mu},(A^{\lambda})^{\mu}=A^{\lambda\mu}$

例11 求二阶矩阵
$A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$
的逆矩阵。
$解：\\ |A|=ad-bc\\ A*=\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}\\ 当|A|\not=0使, A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}\\ =\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}$

二、逆矩阵的初步应用

可逆矩阵在线性代数中占有重要的地位，它的应用是多方面的，下面举几个例子。

例13 设
$A=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&2&1\\ 3&4&3\\ \end{pmatrix} ,B=\begin{pmatrix} 2&1\\ 5&3\\ \end{pmatrix} ,C=\begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix}\\$
求矩阵X使其满足 $A XB = C$
$解：\\ 若A^{-1},B^{-1}存在，则\\ C=AA^{-1}CB^{-1}B\\ 有X=A^{-1}CB^{-1}\\ |A|=2,|B|=1,所以A^{-1},B^{-1}存在\\ A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,B^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ X=A^{-1}CB^{-1}= \begin{pmatrix} 1&3&-2\\ -\frac{3}{2}&-3&\frac{5}{2}\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&3\\ 2&0\\ 3&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&-2\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&-1\\ -5&2\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} -2&1\\ 10&-4\\ -10&4\\ \end{pmatrix}$

例14 设
$P=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&4 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda,求A^n$

$解:\\ |P|=2\\ p^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\\ A=P\Lambda P^{-1},A^2=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^2 P^{-1},\cdots,A^{n}=P\Lambda^{n} P^{-1}\\ \Lambda==\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{pmatrix} ,\Lambda^2==\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^2 \end{pmatrix} ,\cdots,\Lambda^n=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^n\\ \end{pmatrix}\\ A^n=P\Lambda^n P^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2\\ 1&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&2^n\\ \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4&-2\\ -1&1\\ \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 2-2^n&2^n-1\\ 2-2^{n+1}&2^{n+1}-1\\ \end{pmatrix}\\$

设 $\phi(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m为x的m$ 次多项式，A为 $n$ 阶矩阵，记

$\phi(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m$

$\phi(A)$ 为矩阵A的m次多项式。

矩阵 $A^k、A^l和E$ 都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式 $\phi(A)和f(A)$ 也是可交换的，即总有

$\phi(A)f(A)=f(A)\phi(A)$

从而A的几个多项式可以像数 $x$ 的多项式一样相乘或者分解因式。

如果 $A=P\Lambda P^{-1}，则A^k=P\Lambda^kP^{-1}$ ，从而 $\phi(A)=Pa_0EP^{-1}+Pa_1\Lambda P^{-1}+\cdots+Pa_m\Lambda^mP^{-1}=P\phi(\Lambda)P^{-1}$
如果 $\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ 为对角矩阵，则 $\Lambda^k=diag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)$ ,从而
$\phi(\Lambda)=a_0E+a_1\Lambda+\cdots+a_m\Lambda^m\\ =diag(\phi(\lambda_1),\phi(\lambda_2),\cdots,\phi(\lambda_n))$

例15 设
$P=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} ,\Lambda=\begin{pmatrix} 1&&\\ &2&\\ &&-3 \end{pmatrix} ,AP=P\Lambda\\$
求 $\phi(A)=A^3+2A^2-3A$
$解：\\ |P|=6\\ A=P\Lambda P^{-1}\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda) P^{-1},\phi(\Lambda)=diag(\phi(\lambda_1^k),\phi(\lambda_2)^k,\cdots,\phi(\lambda_n^k))\\ \phi(1)=0，\phi(2)=10,\phi(-3)=0\\ \phi(A)=P\phi(\Lambda)P^{-1}=\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&2\\ 1&1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&&\\ &10&\\ &&0\\ \end{pmatrix} \frac{1}{|P|}P^*\\ 5\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1\\ \end{pmatrix}$