Java实现两数相除

题意

给你两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断至 -2 。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

难度

中等

示例

输入: dividend = 10, divisor = 3

输出: 3

解释: 10/3 = 3.33333.. ，向零截断后得到 3 。

输入: dividend = 7, divisor = -3

输出: -2

解释: 7/-3 = -2.33333.. ，向零截断后得到 -2 。

分析 1

题目要求不能用除法（/），也不能用乘法（*），还有 “取余（%）”，如果我们偏要用除法会怎么样呢？

class Solution {public int divide(int dividend, int divisor) {// 直接使用除法计算结果long result = (long) dividend / divisor;// 处理溢出情况if (result > Integer.MAX_VALUE) {return Integer.MAX_VALUE;}if (result < Integer.MIN_VALUE) {return Integer.MIN_VALUE;}return (int) result;}}

来看一下运行结果：

其实有时候我们真解不出来的话，多多少少先把答案写上去，运行通过，但遇到大数就不会成功。

分析 2

题目要求不能用除法，不过我们处理溢出情况的写法，后面还是要用到的，尤其是 (long) dividend 这个强转的处理，其实就考察了基本数据类型的转换问题，包括最后返回的 (int) result，都是很细节的问题，但却很重要。

那既然不能用除法，我们应该怎么去计算两数相除呢？

用减法。

除法基本上是减法的逆运算，它表示将一个数（被除数）分成几个相等的部分（除数）时，可以得到多少个这样的部分（商）。如果用减法来实现除法，本质上是在问：“我可以从被除数中减去多少次除数？”每减去一次，就相当于得到了一个单位的商。

假设我们要计算 dividend / divisor = quotient（被除数 / 除数 = 商），其中 dividend 和 divisor 是已知的，我们要找到 quotient。

①、初始化计数器：设置一个计数器 count，初始值为 0。这个计数器将用来记录我们能从被除数中减去多少次除数。

②、循环减除数：只要被除数 dividend 大于或等于除数 divisor，就从被除数中减去除数，并且计数器 count 加一。

while (dividend >= divisor) {dividend -= divisor;count++;
}

③、处理剩余部分：当被除数小于除数时，循环结束。此时，count 的值就是整数除法的结果（商），而此时的 dividend 是除法的余数。

假设我们要计算 10 / 3：

  1. 初始时，dividend = 10，divisor = 3，count = 0。
  2. 10 >= 3，执行减法 10 - 3 = 7，count = 1。
  3. 7 >= 3，再次执行减法 7 - 3 = 4，count = 2。
  4. 4 >= 3，再次执行减法 4 - 3 = 1，count = 3。
  5. 此时，1 < 3，循环结束，count = 3 是商，1 是余数。

我们来试一下，直接用 ACM 的模式在 Intellij IDEA 中打印结果：

public class TwoDivide {public static void main(String[] args) {//        int divide = divide1(10, 3);
//        System.out.println(divide);System.out.println(divide1(10, 3));System.out.println(divide1(7, -3));System.out.println(divide1(0, 1));System.out.println(divide1(1, 1));System.out.println(divide1(1, 0));System.out.println(divide1(-2147483648, -1));}public static int  divide1( int dividend , int divisor){// 处理特殊情况if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) {return Integer.MAX_VALUE;}// 符号处理boolean negative = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);long ldividend = Math.abs((long)dividend);long ldivisor = Math.abs((long)divisor);long result = 0;while (ldividend >= ldivisor) {ldividend -= ldivisor;result++;}return negative ? (int)-result : (int)result;}

很遗憾，前 5 个测试用例都是可以顺利通过的，但最后 1 个测试用例耗时会特别长，因为要计算 2147483648 / 1次，这个数太大了，所以我们要想办法优化一下。

优化减法实现除法的关键在于减少需要执行的减法操作次数，对吧？

我们可以结合减法和倍增思想，每次减去 divisor 的倍数，这样就可以减少减法的次数。

  1. 初始时，令一个临时除数等于除数，每次尝试从被除数中减去临时除数。
  2. 如果可以减去，更新被除数（减去临时除数），临时除数倍增（乘以 2），同时记录下减去的次数。
  3. 如果不可以减去，则临时除数回退到除数，继续尝试减去直到被除数小于除数。

   public static int  divide2( int dividend , int divisor){// 处理特殊情况if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) {return Integer.MAX_VALUE;}// 符号处理boolean negative = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);long ldividend = Math.abs((long)dividend);long ldivisor = Math.abs((long)divisor);long result = 0;while (ldividend >=ldivisor){long tempDivisor = ldivisor , multilpe  = 1;//将除数加倍，并记录加的倍数while (ldividend >= tempDivisor+tempDivisor){tempDivisor+= tempDivisor; //加倍除数multilpe+= multilpe;  //累加倍数}ldividend-=tempDivisor; //减去加倍后的除数result+=multilpe;}return negative ? (int)-result : (int)result;}

内层 while 循环，确定能够从被除数中减去的最大的除数的倍数。

这个循环通过不断地加倍除数（乘以 2），寻找最接近且不超过被除数的那个除数的倍数。这个过程实际上是在模拟除法的过程，尝试找到一个合适的倍数，使得除数 × 倍数 ≤ 被除数，且尽可能地大。

while (ldividend >= tempDivisor + tempDivisor) {tempDivisor += tempDivisor; // 加倍除数multiple += multiple; // 记录加倍次数
}
  1. tempDivisor 从原始的除数开始，每次循环加倍（相当于tempDivisor * 2），试图接近但不超过 ldividend。
  2. multiple 记录了加倍的次数，也就是说，如果 tempDivisor 加倍了，那么 multiple 也加倍，表示除数增加了多少倍。

外层 while 循环，使用上一个循环确定的最大倍数来更新被除数，并累加到最终结果中。

当第一个循环结束后，我们找到了最接近且不超过被除数的那个除数的倍数。然后，我们从被除数中减去这个加倍后的除数，并将对应的倍数累加到最终结果中。如果更新后的被除数仍然大于或等于原始除数，这个过程会重复进行。

ldividend-=tempDivisor;//减去加倍后的除数
result+=multiple;//累加倍数

  1. ldividend -= tempDivisor;更新被除数，减去了找到的最大可减的加倍后的除数。
  2. result += multiple;将这一步中减去的除数的倍数累加到 result 中，因为这表示了我们在这一步中“除以了多少个”除数。

来看一下运行效率，还挺高：

分析 3

减法和倍增的另外一种变体就是使用位移，我们来看一下题解：

    public int divide3(int dividend, int divisor) {if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) {return Integer.MAX_VALUE; // 防止溢出}boolean negative = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);long ldividend = Math.abs((long)dividend);long ldivisor = Math.abs((long)divisor);long result = 0;while (ldividend >= ldivisor) {long temp = ldivisor, multiple = 1;while (ldividend >= (temp << 1)) {temp <<= 1;multiple <<= 1;}ldividend -= temp;result += multiple;}return negative ? (int)-result : (int)result;}

在二进制表示中，每向左移动一位，其实就等价于将这个数乘以 2。所以，我们可以通过位移来实现倍增。

while (ldividend >= (temp << 1)) {temp <<= 1;multiple <<= 1;
}

假设 temp 的值为 3，其二进制表示为 0011（这里为了简化，只展示了四位二进制）。当执行 temp << 1 操作时，temp 的二进制表示会向左移动一位，变为 0110，此时 temp 的值就变成了 6。可以看到，3 * 2 = 6，这正是位左移一位的效果。

分析 4

我们还可以使用二分法来实现除法，这个方法是最优的，也是最常用的。

二分法的思路是：我们可以将除数不断地向左移位，直到它大于被除数。因为这样可以最大限度地减小被除数，使得被除数减去除数的次数最少。

我们来看一下题解：

class Solution {public int divide(int dividend, int divisor) {// 处理特殊情况：Integer.MIN_VALUE除以-1会溢出if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) {return Integer.MAX_VALUE;}// 使用异或运算确定结果的正负性，不同号为负boolean negative = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);// 将被除数和除数都转换为正数，使用long类型避免溢出long ldividend = Math.abs((long)dividend);long ldivisor = Math.abs((long)divisor);// 初始化结果变量long result = 0;// 从最高位开始检查，对32位整数而言，这是31位for (int i = 31; i >= 0; i--) {// 检查ldividend右移i位后是否仍然大于等于ldivisorif ((ldividend >> i) >= ldivisor) {// 如果是，说明在2^i的位置上有一个ldivisor，将2^i累加到结果中result += 1L << i;// 同时，从ldividend中减去ldivisor左移i位的值，即减去了ldivisor的2^i倍ldividend -= ldivisor << i;}}// 根据之前确定的正负性，返回正确的结果return negative ? (int)-result : (int)result;}
}
public int divide4(int dividend, int divisor) {if (dividend == Integer.MIN_VALUE && divisor == -1) {return Integer.MAX_VALUE; // 防止溢出}boolean negative = (dividend < 0) ^ (divisor < 0);long ldividend = Math.abs((long)dividend);long ldivisor = Math.abs((long)divisor);long result = 0;//从最高位开始检查，对32位整数而言，这是31位for (int i  = 31 ;i >=0 ; i--){//检查ldividend右移i位后是否仍大于等于ldivisorif (ldividend>>i >= ldivisor){//如果是，说明在i^2的位置上有一个ldivisor，将i^2累加到结果中result+=1 << i ;ldividend-= ldivisor << i;}}// 根据之前确定的正负性，返回正确的结果return negative ? (int)-result : (int)result;}

这个题解虽然没有直接采用传统的二分搜索算法框架，但它实质上利用了二分思想的核心——每次操作都在减少搜索范围，逐步逼近目标值。

在这个问题中，目标是找到一个数x，使得x * divisor ≈ dividend。通过位操作，每次将dividend右移，实际上是在缩小搜索范围。

这个过程可以看作是对商的二进制表示的逐位确认：

  1. 高位到低位逼近：从dividend的最高位开始，逐步向下检查每一位，看在当前位上divisor是否能"放入"。这里，“放入”的意思是，看乘以2^i（通过左移i位实现）后的divisor是否不超过当前的dividend。这相当于在二分搜索的每一步中，决定这一位上的商是0还是1。
  2. 动态调整搜索范围：通过不断地调整ldividend（即减去已经确定能够放入的divisor的倍数），实际上是在缩小搜索范围，因为每次操作后的ldividend代表了尚未被除尽的余数。

总结

在数学中，加法是加减乘除的基础，减法是加法的逆运算，乘法是加法的倍增，除法是乘法的逆运算。

两数相乘，可以用加法来实现，两数相除，可以用减法来实现，这是最基本的思路。

比如说 10/2，我们可以用 10-2-2-2-2-2=0 来实现，这样就得到了商 5。

比如说 10/3，我们可以用 10-3-3-3-1=0 来实现，这样就得到了商 3 余 1。

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