文章目录
- 3. 完全背包问题
- 题目描述
- 动态规划
- 一维数组
3. 完全背包问题
题目描述
有 N种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
动态规划
一维数组
这段代码演示了如何解决一个经典的动态规划问题，即完全背包问题。注释已经添加在代码的相应部分，以便详细解释每一步。
#include<bits/stdc++.h> // 引入所有标准库
using namespace std;int main()
{int n,v; // n 表示物品种数，v 表示背包容量cin>>n>>v; // 输入物品种数和背包容量vector<int> val(n+1,0),w(n+1,0); // val 存放物品价值，w 存放物品体积vector<int> dp(v+1,0); // dp 数组，用于存放每个容量下的最大价值for(int i=0;i<n;i++)cin>>w[i]>>val[i]; // 输入每种物品的体积和价值// 动态规划过程for(int i=0;i<n;i++) // 遍历所有物品{// 完全背包的特点是，每种物品可以选无限次，所以内循环正序遍历for(int j=w[i];j<=v;j++) // 对于每个容量，从当前物品的体积开始遍历到背包容量{// 状态转移方程，尝试将当前物品加入背包，并更新最大价值dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+val[i]);}}// 输出最大价值，即背包容量为v时的最大价值cout<<dp[v];return 0;
}
在这个代码中，dp[j] 表示的是背包容量为j的情况下能够装入物品的最大价值。在内循环中，我们尝试将每件物品加入背包中，并更新dp[j]为当前dp[j]与dp[j-w[i]]+val[i]中的较大值，其中dp[j-w[i]]+val[i]代表在背包中已经装有一定体积物品的情况下再加入当前考虑的物品所能达到的价值。
完全背包问题与0-1背包问题的重要区别在于：完全背包问题中的每种物品可以选取无限次，而0-1背包问题中每种物品只能选取一次。
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