算法学习17：背包问题（动态规划）

文章目录

算法学习17：背包问题（动态规划）
前言
一、01背包问题：
- 1.朴素版：（二维）
- 2.优化版：（一维）
二、完全背包
- 1.朴素版：（3重for）
- 2.稍微优化版：（二维）
- 3.完全背包问题模版：（最终优化版）
三、多重背包
- 1.朴素版：（）
- 2.多重背包问题的“二进制优化”：
四、分组背包
- 在这里插入图片描述
总结

前言

在这里插入图片描述

提示：以下是本篇文章正文内容：

一、01背包问题：

1.朴素版：（二维）

在这里插入图片描述

// 例题：有n件物品，和一个容量是m的背包，每件物品只能使用一次。
// 第i件物品的体积是vi，价值是wi，
// 求将哪些物品装入背包，可以使总价值最大。
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];// v：体积， w：价值
int f[N][N];// 从前i件物品中取，放到容量为j的背包中，最大的价值。 int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = 0; j <= m; j ++){f[i][j] = f[i - 1][j];// 不取 if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);// 取 }cout << f[n][m] << endl;return 0;}

在这里插入图片描述

2.优化版：（一维）

// 优化版：
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];// v：体积， w：价值 
int f[N];// 从i件物品中去，放到容量为j的背包，最大的价值。
// 注意要执行i轮循环 int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++)// 注意1：如果这里不是倒着遍历，那么可能存在，在前面的时候，i物品已经被放进背包了 // 从大到小，保证前面的“状态”，还没有更新过。 for(int j = m; j >= v[i]; j --)// 不取 和 取 f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[m] << endl;return 0;}

二、完全背包

1.朴素版：（3重for）

在这里插入图片描述

// 例题：有n种物品，容量为m的背包，“每种物品都有无限件可用”。
// 第i件物品的体积是vi，价值是wi，
// 求将哪些物品装入背包，可以使总价值最大，输出最大价值。
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std; const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];// 3重for循环： for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 0; j <= m; j ++)for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

在这里插入图片描述

2.稍微优化版：（二维）

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std; const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 0; j <= m; j ++){// 这样就和01背包问题有点像了 // 不同的是：f[i - 1][j - v[i]] + w[i] f[i][j] = f[i - 1][j]; // 注意1：要加一个判断条件 （否者越界） if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

3.完全背包问题模版：（最终优化版）

#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std; const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++) // 为什么是从前往后遍历，因为每件物品可以使用无限次，不存在重复问题 for(int j = v[i]; j <= m; j ++)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[m]<< endl;return 0;
}

三、多重背包

1.朴素版：（）

在这里插入图片描述

2.多重背包问题的“二进制优化”：

在这里插入图片描述

/*
多重背包问题的“二进制优化”： 
请先记住：二进制数的组合可以表示一个0~s范围内的十进制数
那么我们将总数量为s的一个“大包裹”转换为“1 2 4 8 16 32 64 .......”这样的小包裹然后对于：这些小包裹，我们选择“取或者不取”，这样就把“多重背包问题”转换为“01背包问题” 
*/
/*
注意：为什么要优化？
第一种也可以使用，但是当数据范围大的时候就是出现Time Limit Exceed问题。
（1）0< n, m <100   0< vi, wi, si <100
（2）0 < n <1000 0 < m < 2000 0 < vi, wi, si <2000
const int N = 25000 是如何得到的？1000 * log2(2000) = 1000 * 11 = 22000
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 25000, M = 2010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;int cnt = 0;// 标记 ：作为打包后的总数量 for(int i = 1; i <= n; i ++){int a, b, s;// 体积，容量，数量 cin >> a >> b >> s;int k = 1;while(k <= s){cnt ++;v[cnt] = a * k;// 打包后的体积 w[cnt] = b * k;// 打包后的容量 s -= k;// 剩余的总数量 k *= 2;// 打包的件数 }if(s > 0)// 多了 {cnt ++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}n = cnt;// 打包后的所有包裹的数量// 此时，又相当于01背包问题 for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = m; j >= v[i]; j --)f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); cout << f[m] << endl;	return 0;}

四、分组背包

在这里插入图片描述

// 有n组物品，容量为m的背包，
// 每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个
// 每件物品的体积是vij，价值是wij，其中i是组号，j是组内编号
// 求将哪些物品装入背包，可以使总价值最大，输出最大价值。/*
输入：n，m
接下来n组数据：
第一行：s表示这一组物品的数量
接下来s行：v，w 
*/#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110;int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N]; int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++){cin >> s[i];for(int j = 0; j <s[i]; j ++)cin >> v[i][j] >> w[i][j];}for(int i = 1; i <= n; i ++)// 像01背包：“取或不取”，只有一件，不可以重复，那么就倒着遍历，保证前面是未更新的 for(int j = m; j >= 0; j --)for(int k = 0; k < s[i]; k ++)if(v[i][k] <= j)f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);cout << f[m] << endl;return 0;}