椋鸟数据结构笔记#5:树、二叉树基础

文章目录

          • 树的相关概念
          • 树的表示
        • 二叉树基础
          • 二叉树分类
            • 满二叉树
            • 完全二叉树
          • 二叉树的性质
          • 二叉树的存储结构
            • 顺序存储
            • 链式存储

萌新的学习笔记,写错了恳请斧正。

树是一种非线性的数据结构,它是由 n 个节点组成的一个具有层次关系的数据集合。其大概结构如下图:

在这里插入图片描述

其形状类似于一棵倒挂的树,由此得名。

树的相关概念
  • 节点:树中每一个存储数据的元被称为节点。上方示意图中A~Q都是这棵树的节点。
  • 根节点:根节点没有父节点,是整棵树的最上面的节点,是该树其他所有节点的发源。也就是上面示意图中的A节点。
  • 父节点(双亲节点):就是树中与某节点相连但在其“上方”的节点。比方说,上方示意图中A是BCDEFG的父节点、E是IJ的父节点。
  • 子节点(孩子节点):与父节点相对,就是树中与某节点相连但在其“下方”的节点。比方说,上方示意图中BCDEFG都是A的子节点。
  • 兄弟节点:有相同父节点的节点互为兄弟节点。比方说,上方示意图中B与C互为兄弟节点、P与Q互为兄弟节点。
  • 堂兄弟节点:只要两个节点互不为兄弟节点但处于树的同一层(与根节点的距离相同,则称其为堂兄弟节点。比方说,上方示意图中H与J互为堂兄弟节点。
  • 节点的祖先:一个节点到根节点的唯一路径上所有的节点都是该节点的祖先。比方说,上方示意图中A节点为所有节点的祖先。
  • 节点的子孙:又某一个节点“向下”延伸出来的所有节点都是该节点的子孙。比方说,上方示意图中其他所有节点都是A节点的子孙。
  • 子树:把根节点的一个子节点拿出来,这个节点与其所有子孙再次组成一棵树,这棵树就称为母树(原本的树)的一棵子树。比方说上方示意图中E、I、J、P、Q就构成了母树的一棵子树。注意子树可以只有一个根节点
  • 节点的度:一个节点的子树的个数称为节点的度。比方说,上方示意图中A节点的度为6
  • 树的度:一棵树最大的节点的度就是这棵树的度。比方说,上方示意图中树的度就是A节点的度,为6.
  • 叶节点(终端节点):度为0的节点(没有子节点)就是叶节点。比方说,上方示意图中BCHIKLMNPQ都是叶节点。
  • 分支节点(非终端节点):度不为0的节点(有子节点)就是分支节点。比方说,上方示意图中ADEFGJ都是分支节点。
  • 森林:多颗不相连的树组成森林。
树的表示

树的表示方法有多种,这里介绍较为常用的左孩子右兄弟表示法。这个方法能够让我们方便的向下查找。

我们定义一个结构体作为树的节点:

typedef int TDataType	//树存储的数据类型typedef struct Tree
{TDataType data;struct Tree* lChild;struct Tree* rSibling;
} Tree;

这个结构体中,lChild存储该节点最左边的子节点,rSibling存储与其紧邻的右侧兄弟节点

这样,我们还是以上方示意图为例,为了方便我再次把图片贴出:

在这里插入图片描述

如果我们想通过A节点找到P节点,这时问题就会变的非常简单了,只需要按照如下路线图寻找即可:

lChlid
rSibling*3
lChlid
rSibling
lChild
A
B
E
I
J
P

如果想要子节点也能向上寻找,那还可以再结构体中添加一个成员用于储存父节点。

二叉树基础

二叉树是一种特殊的树结构,其特征为每一个节点都有且只有两个子树或空子树

下方是一个二叉树的示意图(其中2节点的右子树就是空):

在这里插入图片描述

我们还可以更加抽象一点,下图同样也是一个二叉树:

在这里插入图片描述

二叉树分类

有两种特殊的二叉树类型需要我们单独的来看一看,它们是满二叉树完全二叉树

满二叉树

一个二叉树如果每一层的节点数都达到最大,那这就是一个满二叉树,一个 k 层的满二叉树的节点总数是 2k - 1 。

在这里插入图片描述

完全二叉树

完全二叉树的概念看图很好理解,但是用文字描述就比较复杂了。++对于深度为 K 的有 n 个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的节点一一对应时称之为完全二叉树++{.wavy}。

在这里插入图片描述

二叉树的性质
  1. 一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2i-1 个节点
  2. 深度为 h 的二叉树的最大节点数是 2h - 1
  3. 对任何一棵二叉树,若度为 0 的节点个数为 n0 ,度为 2 的节点个数为 n2 ,那么 n0 = n2 + 1
  4. 具有 n 个节点的满二叉树深度为 log2(n + 1)
  5. 若逐层从左至右给每一个节点编号(根节点编号0),那么对应序号为 i 的节点:
    1. i 的父节点的编号为 ⌊ ( i − 1 ) / 2 ⌋ \lfloor (i-1)/2 \rfloor ⌊(i1)/2 (当 i > 0 i>0 i>0时)
    2. i 的左孩子节点编号为 2 i + 1 2i+1 2i+1(当 2 i + 1 < n 2i+1<n 2i+1<n时)
    3. i 的右孩子节点编号为 2 i + 2 2i+2 2i+2(当 2 i + 2 < n 2i+2<n 2i+2<n时)
二叉树的存储结构

实现二叉树我们一般有两种存储结构,一种是顺序存储,一种是链式存储

顺序存储

顺序存储就是用顺序表(数组)来存储节点,一般来说只适用于完全二叉树

因为对于完全二叉树,我们可以逐层从左至右给节点编号,存储在数组对应位置,再通过二叉树的性质轻易找到其父节点或左右孩子节点。

在这里插入图片描述

如果不是完全二叉树,这样中间就会有大量的空节点,造成空间浪费。

对于这种存储方式,将在下一篇笔记通过堆(一种基于二叉树的数据结构)来实现与细致的讲解。

链式存储

链式存储就是用链表来存储二叉树的节点。一般来说有两种实现,分别是二叉链和三叉链。

二叉链就是链表的每个节点由数据域和左右指针域组成,左右指针分别指向左孩子与右孩子节点。对于一些更复杂的数据结构,我们可能会使用到基于三叉链的二叉树,也就是再增加一个指针指向其父节点。

//Binary Tree 二叉树
typedef int BTDataType;//二叉链
typedef struct BTNode
{struct BTNode* lChild;struct BTNode* rChild;BTDataType data;
} BTNode;//三叉链
typedef struct BTNode
{struct BTNode* lChild;struct BTNode* rChild;struct BTNode* parent;BTDataType data;
} BTNode;

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