回文串的性质
回文串类似于ABA,ABCBA,AABBAA等的对于i具有s[i]=s[n+!-i]的字符串。
回文半径:对于一个回文中心i,如果它的半径为r,如果它为奇数长度的回文串的中心,则说明[i+r+1,i+r-1]为一个回文串。如果i是偶数长度的回文中心,则回文半径没有意义。(Manacher算法会解决这个问题)
它会将偶数的回文长度转化为奇数的回文长度。
Manacher算法
前面说过,回文半径对于偶数长度的回文的中心没有意义,例如ABBA中的B就不存在回文半径。
为了解决这个问题,Manacher发明了一种算法,他将所有的回文串都转化为了奇数长度的回文串。
方法就是在字符串中间和头尾插入特殊字符,例如原字符串为ABBA,转换后变^#A#B#B#A#$,于是我们就可以得到^#A#B#B#A#$中红色位置的回文半径为5,它就表示在原字符串中的回文半径为5-1=4 (这个原因待会儿会解释)。
Manacher算法是一种O(n)复杂度计算字符串中每个位置作为回文中心的回文半径的算法
位置i的回文半径以p[i]表示,意思是在转换后的字符串中[i-p[i]+1,i+p[i]-1]是回文的
(P[i]-1)是因为不管是以原来字符还是以特殊字符为回文中心,特殊字符都会比原来字符多1
转换后的字符串中回文半径为p[i],说明在转换前的回文串长度为p[i]-1
Manacher算法流程
转换后的字符串的有效区间为[1,2*n+1],所以我们从1到2*n+1去遍历所有点。
如果i<R说明i存在关于C(C是此时最右侧的R对应的对称中心)的对称点2C-i,那么p[2C-i],当然为了防止越界,要和R-i取小。
如果i>=R说明i已经无法通过C找到对称点了,因此此时i不在C的回文区间中,就不存在回文的递归性质。
int[] p=new int [str.length()];
int max=1;//最长回文子串的长度
int r=0;
int c=0;
for(int i=1;i<str.length()-1;i++){//str.length()-1表示的是新构成的字符串的长度p[i]=r>i?Math.min(p[2*c-i],r-i):1;
//判断是否超过最右的边界。和对称点后面的r-i取小while(str.charAt(i+p[i])==str.charAt(i-p[i])){
//从中心向两边扩展,如果它一直相等,我们的p[i]就会一直++p[i]++;}if(p[i]+i>r){
//如果p[i]+i>r表示右边界被更改了,我们的回文中心也要进行更改r=p[i]+i;c=i;}max=Math.max(max,p[i]-1);
//最后更新以下最长回文子串的长度
}
//r:现有的所有回文子串中,最大的右边界(回文子串不包括r)
//c:上述r对应回文子串的中心点
例题
最长回文子串
题目描述
给定一个字符串S,请你求出S的最长回文子串
输入描述
仅输入遗憾,包含一个字符串S
1<=|S|<=5*10^5,保证S只包含小写字母,大写字母,数字。
输出描述
输出共1行,包含一个整数,表示答案
示例1
aa1ABAlb
输出
5
完整代码
package lanqiao;
import java.util.*;
public class onetwotwofive {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scan=new Scanner(System.in);String s=scan.next();long num=manacher(s);System.out.println(num);}public static long manacher(String s) {int c=0,r=0;long max=1;StringBuilder str=new StringBuilder();str.append("!");for(int i=0;i<s.length();i++) {str.append("#");str.append(s.charAt(i));}str.append("#$");int[] p=new int[str.length()];for(int i=1;i<str.length()-1;i++) {p[i]=r>i?Math.min(p[2*c-i],r-i):1;while(str.charAt(p[i]+i)==str.charAt(i-p[i])) {p[i]++;}if(p[i]+i>r) {r=p[i]+i;c=i;}max=Math.max(max, p[i]-1);}return max;}}