文章目录
- day41学习内容
- 一、 整数拆分
- 2.1、动态规划五部曲
- 1.1.1、 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 1.1.2、确定递推公式
- 1.1.3、 dp数组如何初始化
- 1.1.4、确定遍历顺序
- 1.1.5、计算并返回最终结果
- 1.2、代码
- 二、不同的二叉搜索树
- 2.1、动态规划五部曲
- 2.1.1、 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 2.1.2、确定递推公式
- 2.1.3、 dp数组如何初始化
- 2.1.4、确定遍历顺序
- 2.1.5、计算并返回最终结果
- 2.2、代码
- 总结
- 1.感想
- 2.思维导图
day41学习内容
day41主要内容
- 整数拆分
- 不同的二叉搜索树
声明
本文思路和文字,引用自《代码随想录》
一、 整数拆分
343.原题链接
2.1、动态规划五部曲
1.1.1、 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 分拆数字i,可以得到的最大乘积为dp[i]。
1.1.2、确定递推公式
这题我其实一开始的思路是拆成多个数字,还是拆成2个数字。甚至考虑了奇数和偶数的区别,但是想了半天,都发现没有规律。。
递推公式为
dp[i]=max(dp[i],max(j×(i−j),j×dp[i−j]))
其中,i
是当前我们想要拆分的整数,j
是我们从i
中拆出来的一个正整数,(i-j)
就是剩下的部分。
递推公式推导
关键点在于理解,对于任意的i
,我们尝试所有可能拆分的j
(从1到i-1
),然后比较:
- 不再拆分
(i-j)
的情况: 直接计算j
与(i-j)
的乘积,即j * (i-j)
。 - 继续拆分
(i-j)
的情况: 这里我们不直接使用(i-j)
,而是使用它继续拆分后能得到的最大乘积,即j * dp[i-j]
。
例子说明
假设n=8
,我们要计算dp[8]
。
- 当
j=1
时,拆分成1
和7
,可以比较1*7
与1*dp[7]
。由于dp[7]
代表7
拆分得到的最大乘积,如果7
继续拆分能得到的乘积比7
大,那么使用dp[7]
。 - 当
j=2
时,拆分成2
和6
,同理比较2*6
与2*dp[6]
。 - 当
j=3
时,拆分成3
和5
,比较3*5
与3*dp[5]
。
以此类推,直到j=4
(因为拆分是对称的,所以当j
超过i/2
时,情况会重复)。
1.1.3、 dp数组如何初始化
dp[0]和dp[1]没有意义
dp[2] =1 ,因为dp[2]只能拆成1*1
1.1.4、确定遍历顺序
从前向后遍历,没啥好说的
1.1.5、计算并返回最终结果
return dp[n];
1.2、代码
class Solution {public int integerBreak(int n) {//dp[n] 为正整数 n 拆分后的结果的最大乘积int[] dp = new int[n+1];dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= i-j; j++) {dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j])); }}return dp[n];}
}
这种写法也OK,唯一的不同就是j <= i/2。
class Solution {public int integerBreak(int n) {//dp[n] 为正整数 n 拆分后的结果的最大乘积int[] dp = new int[n+1];dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= i/2; j++) {dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j])); }}return dp[n];}
}
二、不同的二叉搜索树
96.原题链接
2.1、动态规划五部曲
2.1.1、 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
2.1.2、确定递推公式
dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素,从1遍历到i为止。
所以递推公式:dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ,j-1 为j为头结点左子树节点数量,i-j 为以j为头结点右子树节点数量
2.1.3、 dp数组如何初始化
只需要初始化dp[0]
dp[0] = 1
2.1.4、确定遍历顺序
从前向后遍历,没啥好说的
2.1.5、计算并返回最终结果
return dp[n];
2.2、代码
class Solution {public int numTrees(int n) {int[] dp = new int[n + 1];//初始化0个节点和1个节点的情况dp[0] = 1;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) { dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
}
总结
1.感想
- 动态规划还没入门就想放弃了。。。
2.思维导图
本文思路引用自代码随想录,感谢代码随想录作者。