1.顺序表查找

基本方法：
设查找表以一维数组来存储，要求在此表中查找出关键字的值为x的元素的位置，若查找成功，则返回其位置（即下标），否则，返回一个表示元素不存在的下标（如0或-1）。

1.1简单顺序查找

基本思想： 遍历整个顺序表逐个比较，如果关键字相等则返回其下标，如果没有找到则返回-1。

//从左向右查找
int search (elementtype A[]，keytype x) { int i;for(i = 0; i < n; i++) if (A[i].key==x)return(i);return(-1);
}//从右向左查找
int  search ( elementtype A[]，keytype x) {int i;for(i = n-1; i >= 0; i--) if (A[i].key == x)  return(i);return(i);
}//监视哨，这里数据存放在下标1~n
int  search ( elementtype A[]，keytype x) {int i = n;A[0].key=x;while (A[i].key != x) i--;return(i);
}

1.2 二分查找

基本思想： 设查找区域的首尾下标分别用变量low和high表示（初值分别为0和n-1，其中数组的下标从0开始，这与简单顺序查找中略有不同），将待查关键字x和该区域的中间元素 (其下标mid的值为low和high的算术平均值，即(low+high)/2) 的关键字进行比较，并根据比较的结果分别作如下处理：

1. x==A[mid].key:查找成功，返回mid的值。
2. x<A[mid].key:说明待查元素只可能在左边区域(下标从low到mid-1)，因此，应在此区域继续查找。
3. x>A[mid].key:说明待查元素只可能在右边区域(下标从mid+1到high) ，因此，应在此区域继续查找。

若表中存在所要查找的元素，则经过反复执行上述过程可以很快地找到，并返回元素下标，否则，返回-1以表示查找失败。

//首先要把握下面几个要点：  
//right=n-1 => while(left <= right) => right=middle-1;  
//right=n   => while(left <  right) => right=middle;  
//middle的计算不能写在while循环外，否则无法得到更新。  /*!
* @brief  非递归二分查找
* 
* @param[in] elements：存放有序元素的数组
* @param[in] key：待查找的元素
* @param[in] size：数组的尺寸
* @return 数组中key的下标，没有则返回-1
*/
template<typename T>
int binSearch(T* elements, T key, int size) {int low = 0, high = size - 1;while (low <= high) {//计算时避免值溢出int mid = low + ((high - low) >> 1);if (elements[mid] > key) {high = mid - 1;}else if (elements[mid] < key) {low = mid + 1;}else {return mid;}}return -1;}/*!
* @brief  递归二分查找
* 
* @param[in] elements：存放有序元素的数组
* @param[in] key：待查找的元素
* @param[in] low：下界
* @param[in] high：上界
* @return 数组中key的下标，没有则返回-1
*/
template<typename T>
int binSearch(T* elements, T key, int low, int high) {//递归终止条件if (low > high) {return -1;}else {//计算时避免值溢出int mid = low + ((high - low) >> 1);if (elements[mid] > key) {return binSearch(elements, key, low, mid - 1);}else if (elements[mid] < key) {return binSearch(elements, key, mid + 1, high);}else {return mid;}}
}

1.3 索引表查找

核心思想是块间有序，块内无序；首先在索引表间查找确定元素所在的块，然后在确定的块中查找；

• 块间查找：在索引表中查找既可以用简单顺序查找，也可以用二分查找；
• 块内查找：在块内查找只能用顺序查找；

1.4 算法分析

查找方法	平均查找长度	最坏查找长度
简单顺序查找	(n+1)/2	n
二分查找	$lo{g}_2(n+1)-1$	$lo{g}_2(n)+1$

注：二分查找平均查找长度计算过程

2.树表查找

2.1 二叉排序树（BST树）

定义： 二叉排序树是一棵二叉树，或者为空，或者满足以下条件：

1. 若左子树不空，则左子树中所有结点的值小于根结点的值；
2. 若右子树不空，则右子树中所有结点的值不小于根结点的值；
3. 左右子树都为二叉排序树。

/***  非递归二叉排序树查找*  * @tparam T* @param tree* @param x* @return*/
template<typename T>
Node<T> *bstsearch(Node<T> *tree, T x) {Node<T> *p = tree;while (p != nullptr) {if (p->data == x) {return p;}if (x < p->data) {p = p->lchild;} else {p = p->rchild;}}return nullptr;
}/*** 递归二叉排序树查找* * @tparam T * @param tree * @param x * @return */
template<typename T>
Node<T> *bstsearch(Node<T> *tree, T x) {if (tree == nullptr) {return tree;}if (tree->data == x) {return tree;}if (x < tree->data) {return bstsearch(tree->lchild, x);} else {return bstsearch(tree->rchild, x);}
}

二叉排序树的构造

核心：从空树出发，依次插入若干个节点；

步骤：

1. 若该值小于根结点的值，则应往左子树中插入 (递归调用插入算法)。
2. 若该值大于等于根结点的值，则往右子树中插入（递归调用）。
3. 按此方式递归调用若干次后，总可以搜索到一个空子树位置，即要插入的位置。

/*** 在树tree中插入节点curNode* * @tparam T * @param tree * @param curNode */
template<typename T>
void insert(Node<T> *&tree, Node<T> *curNode) {if (tree == nullptr) {tree = curNode;return;}if (curNode->data < tree->data) {insert(tree->lchild, curNode);} else {insert(tree->rchild, curNode);}
}/*** 基于控制台输入，创建二叉排序树* * @tparam T * @param tree */
template<typename T>
void create(Node<T> *&tree) {tree = nullptr;int x;cin >> x;while (x != 0) {Node<int>* node = new Node(x);insert(tree, node);cin >> x;}
}

该构造方式的问题是，当输入是一个递增或者递减序列时，则该树是相当倾斜的，即左右子树的深度差距很大；

二叉排序树删除结点

删除只能和删除结点，不能删除以结点为根的子树，且还要保证删除后所得二叉树仍满足二叉排序树的性质不变。

1.被删除的结点是叶子结点：直接删去该结点。
2.被删除的结点只有右子树或者只有左子树，用其右子树或者左子树替换
3.被删除的结点既有左子树又有右子树，找到删除结点的左子树中的最大值，将其替换删除结点（或者找右子树上最小的结点）

2.2 平衡二叉树（AVL树）

定义：

平衡二叉树是一棵二叉排序树，或者为空，或者满足以下条件：

1. 左右子树高度差的绝对值不大于1；
2. 左右子树都是平衡二叉树。

平衡因子：

左子树的高度减去右子树的高度，其值为-1，0或1。

对于一颗有n个结点的AVL树，其高度保持在O（log₂n）数量级，平均查找长度（ASL）也保持在O（log₂n）量级。

如何构造平衡二叉树

在平衡的二叉排序树中插入一个结点，当出现不平衡时，根据不平衡情况分四种调整方法

——假设最低不平衡结点为A，根据新插入结点与A的位置关系来命名调整方法：

LL型：新插入结点在A的左孩子(L)的左子树(L)中；

LR型：新插入结点在A的左孩子(L)的右子树®中；

RL型：新插入结点在A的右孩子®的左子树(L)中；

RR型：新插入结点在A的右孩子®的右子树®中。

2.3 红黑树（RBT）

红黑树（Red-Black Tree）也是是一种自平衡的二叉搜索树，与AVL树不同的是它在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍（最长路径也不会超出最短路径的两倍，因此红黑树的平衡性要求相对宽松，没有AVL树那样严格），从而使搜索树达到一种相对平衡的状态。

红黑树具有以下性质：

1. 每个结点不是黑色就是红色;
2. 根结点必须是黑色的
3. 红色结点的两个子结点必须都是黑色的，这保证了没有两个连续的红色节点相连
4. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点，也被称为NIL节点或者NULL节点)
5. 任意结点到其每个叶子结点的简单路径上，黑色节点的数量相同：确保了树的黑平衡性，即红黑树中每条路径上黑色结点的数量一致。
   

所以我们这里来分析一种极端的情况：
大家想，如果一棵红黑树有红有黑，它里面如果有一条全黑的路径，那这条全黑的路径一定就是最短路径； 如果有一条是一黑一红，一黑一红…，这样黑红相间的，那他就是最长的路径。 然后它们里面的黑色结点个数又是相同的的，所以最长路径最多是最短路径的两倍，不可能超过最短路径两倍。 所以这样红黑树的高度就能够保持在一个相对平衡的范围内，当然他就没有AVL树那么严格

红黑树的插入

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点，除了根节点为黑色，新插入的节点初始为红色；
2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整。但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树进行调整；
   调整的总体思路是重新着色或者旋转+重新着色，旋转的思路跟AVL树类似，详见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/659174741

红黑树的删除

将红黑树内的某一个节点删除，需要执行哪些步骤呢？ ⑴首先，红黑树是一棵二叉查找树，按照二叉查找树的节点删除规则删除该节点；⑵然后，通过旋转和重新着色操作来修正该树的红黑树特性。详细步骤如下：

第一步：将节点按照二叉查找树的删除规则进行节点删除。

这和“删除常规二叉查找树中的节点方法是一样的”。分3种情况：

Ⅰ.被删除节点没有儿子，即为叶节点。那么，直接将该节点删除就OK了。

Ⅱ.被删除节点只有一个儿子。那么，直接删除该节点，并用该节点的唯一子节点顶替它的位置。

Ⅲ.被删除节点有两个儿子。那么，先找出它的[前驱节点/后继节点]；然后把“它的[前驱节点/后继节点]的内容”复制给“该节点”；之后，删除“它的[前驱节点/后继节点]”。在这里，[前驱节点/后继节点]相当于替身，在将[前驱节点/后继节点]的内容复制给"被删除节点"之后，再将[前驱节点/后继节点]删除。这样就巧妙的将问题转换为“删除[前驱节点/后继节点]”的情况了，下面就考虑[前驱节点/后继节点]。在"被删除节点"有两个非空子节点的情况下，它的[前驱节点/后继节点]不可能是双子非空。既然"[前驱节点/后继节点]"不可能双子都非空，就意味着"该节点的[前驱节点/后继节点]"要么没有儿子，要么只有一个儿子。若没有儿子，则按"情况Ⅰ"进行处理；若只有一个儿子，则按"情况Ⅱ"进行处理。

查找效率分析

对于一棵红黑树来说，如果它里面全部的黑色结点一共有N个的话，那它的最短路径长度就差不多是$lo{g}_2(N)$。 然后整棵树的节点数量就是在【N，2N】之间。 所以最长路径长度就可以认为差不多是$2lo{g}_2(N)$ 所以红黑树的查找最少是$lo{g}_2(N)$次，最多是$2lo{g}_2(N)$次，所以红黑树查找的时间复杂度是O($lo{g}_{2}N$)，计算时间复杂度前面的常数项可以省略。 而AVL树也是O($lo{g}_{2}N$），但AVL树是比较严格的O($lo{g}_{2}N$），而红黑树是省略了常数项。 所以严格来说，红黑树的查找效率是比不上AVL树的（但对于计算机来说是没什么差别的），但是它们是同一个数量级的，都是O($lo{g}_{2}N$）。

红黑树对比AVL树

由于AVL树要求更加严格的平衡，所以在进行插入和删除操作时，可能需要更频繁地进行旋转操作来调整树的结构，以保持平衡。相比之下，红黑树的插入和删除操作需要旋转的次数相对较少，因此在插入和删除操作频繁的情况下，红黑树可能更加高效。
综合来看，红黑树其实更胜一筹，红黑树在实际应用中更为常用，Java集合中的TreeSet和TreeMap，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红黑树实现的；

第二步：通过旋转和重新着色操作来修正该树的红黑树特性。

因为"第一步"中删除节点之后，可能会违背红黑树的特性。所以需要通过"旋转和重新着色"来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

2.4 B树

注：B树有时候也会写作B-树，是一个意思；

定义：m阶B树(m≥3)满足如下条件：

1. 每一个结点分支数≤m;
2. 根结点分支数≥2(要求此根结点不为叶子结点)；
3. 其余分支结点的分支数≥ m/2 ；
4. 所有叶子结点在同一层；
5. 每一个结点的结构如下：

满足$A_0<K_1<A_1<...<K_m<A_m$,其中Ai表示其中的所有关键字；

插入关键字——插入到叶子结点中

1. 插入后，该结点的关键字个数 n<m， 不修改分支指针;
2. 插入后，该结点的关键字个数 n=m， 则需进行“结点分裂”，令 s = $m/2$， 在原结点中保留 （A0，K1，…… ， Ks-1，As-1）； 建新结点 （As，Ks+1，…… ，Kn，An）； 将（Ks，p）插入双亲结点，p是指向新节点的指针；
   3）若双亲为空，则建新的根结点。
   
   
   

删除关键字

1. 在深度为(h+l)的m阶B-树中删除一个键值k,首先要查到键值k所在的结点及在结点中的位置。若k在非叶子节点中，则把该结点的右边(或左边)指针所指子树中的最小(或最大)键值与k对调，使k移到有叶子节点。
2. 在叶子节点中删除一个键值后,使得该结点的值个数n减1,此时应分以下三种情况进行处理： a.
   1. 若删除后结点中键值数目$n\ge m/2-1$,在该结点中删去键值k连同右边的指针。 b.
   2. 若删除后结点中键值数目$n<m/2-1$,且左(或右)兄弟结点的关键字数目＞ $m/2-1$,则把左(或右)兄弟结点中最大(或最小)键值移到父结点中,再把父结点大于(或小于)上移键值的键值下移到被删关键字所在结点中。 c.
   3. 若删除后结点中键值数目$n<m/2-1$,及其左、右兄弟结点的键值数目都等于$m/2-1$,则就必须进行结点的“合并”,即把应删的键值删去后,将该结点中的剩余键值和指针连同父结点中指向该结点指针的左边(或右边)一个键值ki一起合并到左兄弟(或右兄弟)结点中,将ki从父结点中删去。如果因此使父结点中关键字数目< $m/2-1$,则对此父结点做同样处理,以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。
   4. 如果因此使父结点中关键字数目< $m/2-1$,则对此父结点做同样处理,以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。
      
      
      

2.5 B+树

B+树是B树的一个升级版，相对于B树来说B+树更充分的利用了节点的空间，让查询速度更加稳定，其速度完全接近于二分法查找。为什么说B+树查找的效率要比B树更高、更稳定；我们先看看两者的区别。

B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树，其定义基本与B-树相同，除了：

1）非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
2）非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
3）为所有叶子结点增加一个链指针；
4）所有关键字都在叶子结点出现；
B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+树的性质：

1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统。

B+树比B树更适合操作系统的文件索引和数据库索引的原因：

B+树的磁盘读写代价更低，B+树的内部节点没有指向关键字具体信息的指针，因此内部节点相对B树更小。如果把所有同一内部节点的关键字放在同一块磁盘中，盘块所能容纳的关键字数量也就越多，一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多，相对IO读写次数降低。
B+树的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
所以，B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历，支持基于范围的查询，而B树不支持range-query这样的操作（或者说效率太低）。

2.6 B*树

B∗树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3。

B∗树定义了非叶子结点关键字个数至少为2/3M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：

当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B∗树的分裂：

当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以，B∗树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。

特点

在B+树的基础上因其初始化的容量变大，使得节点空间使用率更高，而又存有兄弟节点的指针，可以向兄弟节点转移关键字的特性使得B*树额分解次数变得更少。

2.5 算法分析

查找方法	平均查找长度	失败查找长度
二叉排序树	$lo{g}_2(n)$	n
二叉平衡树	$lo{g}_2(n)$	$lo{g}_2(n)$
红黑树	$lo{g}_2(n)$	$ n>> x > log_2(n)$含义是略差于二叉平衡树，但是远远好于二叉排序树
B树	$\le lo{g}_m(n+1)+find(m)$	$1+lo{g}_{m/2}((n+1)/2)+find(m)$ find(m)指的是在m个元素中的查找长度，m一般比较小，采用顺序查找即可
B+树	$lo{g}_m(n+1)+find(m)$	$1+lo{g}_{m/2}((n+1)/2)+find(m)$ find(m)指的是在m个元素中的查找长度，m一般比较小，采用顺序查找即可

3.哈希表查找

给定关键字key，用一个函数H(key)计算出元素地址，由此而得散列表（Hash表，哈希表），
其中函数H(key)称为散列函数
此函数值称为散列地址。

现实中，会出现k1≠k2但H(k1)=H(k2)的情况，称这种现象为冲突现象，k1,k2为同义词。

针对冲突——如何解决冲突呢？

• 构造好的散列函数，以免冲突（减少冲突）
• 妥善处理冲突

构造散列函数的基本方法

直接定址法

H(k)= k 或者 H(k)= ak+b （a，b为任意正整数）

除留余数法

H(k)= k % p 其中p≤m,m为数组规模的最大质数。

平方取中法

例：325在平方后取105625中间两位作为它的散列地址。

折叠法

如 身份证号码：40104198805061532
先进行分组：340 104 198 805 061 532

冲突处理方法

开放地址法

Hi(k)=(H(k) + di ) % m，i=1,2,…,q q<=m

1. 线性探测法：Hi(k)=(H(k)+i)%m，m为表的规模最大质数；
2. 二次探测法：Hi(k) = ( H(k) + i2 ) % m
3. 伪随机数：Hi(k) = ( H(k) + random() ) % m

拉链法

将同义词构成一个链表

再散列法

→H(k)→H1(k)→H2(k)→ …… →Hi(k)

散列表的查找

在散列表中查找元素的过程和构造的过程基本一致：
对给定关键字k，由散列函数H计算出该元素的地址H(k)。

• 若表中该位置为空，则查找失败。
• 否则，比较关键字，若相等，查找成功，否则根据构造表时所采用的处理方法找下一个地址，直至找到关键字等于k的元素（成功）或者找到空位置（失败）为止。

一般在用拉链法构造的表中进行查找，比在用线性探测法构造的表中进行查找，查找长度要小。

3.1 算法分析

查找方法	平均查找长度	失败查找长度
哈希查找	1	1+m (哈希冲突用拉链法处理，命中的地址中链表长度为m)

参考

https://www.cnblogs.com/kongxudeshenghuo/p/16174567.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/477346381

https://zhuanlan.zhihu.com/p/639905710

https://blog.csdn.net/Jay_fearless/article/details/119454973

https://zhuanlan.zhihu.com/p/659174741

https://zhuanlan.zhihu.com/p/666229978