【二分图】【二分图最大匹配】LCP 04. 覆盖

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本文涉及知识点

二分图二分图最大匹配

LeetCode LCP 04. 覆盖

你有一块棋盘，棋盘上有一些格子已经坏掉了。你还有无穷块大小为1 * 2的多米诺骨牌，你想把这些骨牌不重叠地覆盖在完好的格子上，请找出你最多能在棋盘上放多少块骨牌？这些骨牌可以横着或者竖着放。
输入：n, m代表棋盘的大小；broken是一个b * 2的二维数组，其中每个元素代表棋盘上每一个坏掉的格子的位置。
输出：一个整数，代表最多能在棋盘上放的骨牌数。
示例 1：
输入：n = 2, m = 3, broken = [[1, 0], [1, 1]]
输出：2
解释：我们最多可以放两块骨牌：[[0, 0], [0, 1]]以及[[0, 2], [1, 2]]。（见下图）
在这里插入图片描述

示例 2：
输入：n = 3, m = 3, broken = []
输出：4
解释：下图是其中一种可行的摆放方式

在这里插入图片描述

限制：
1 <= n <= 8
1 <= m <= 8
0 <= b <= n * m

二分图

图G所有点可以分为两个子集X,Y。子集合X内部的点没有边相连,子集Y内部也是。X $\in$ [0,n)
二分图的判断方法：
染色法，任何一点开始染成红色，邻接点染成黑色，看是否冲突。
可以用：深度优先或广度优先或并集查找

二分图的最大匹配

保证任何点最多选取一次的情况下，选取最多的边。
典型用例：一组老师，一组学生，如果老师x和学生y互相有好感，则可以组队教学。任何老师只能参加一个队伍，学生也是。
交叉路径：选取边和未选取边交叉出现。
增广路径：以非选取边开始，非选取边结束的交叉路径。由于边数是奇数，所以一定x起点，y终点或y起点,x终点。不失一般性，我们以x为起点。
增广路径的选择边和非选择边互换，选择边增加。
用匈牙利算法来实现Find：
枚举x in X，如果x是一个增广路径的起点，则x匹配此路径的第二个节点。
枚举y， y 是x的临接点，且不在此路径中。如果y没有匹配，则x $\rightarrow$ y 是增广路径，vMath[y]=x。
如果已经匹配，看Find(vMath[y]) 是否成功，如果成功，也是增广路径。vMath[y] = x。
如果所有临接点都匹配失败，则x匹配失败。
性质一：无论是手动调用，还是递归调用。都只会Find(子集X的节点)。
性质二：用变量used记录，那些Y节点在本次路径。我们从小到大枚举x，则Find(x)开始事，vMath[y] $\in$ [0,x) ;Find(x)结束后，vMath[y] $\in$ [0,x]。所有无需记录那些x已经使用。
长度为3的增广路径：x1->y1 同时 x2和y1连通 x1和y2连通
则find(x2)调用find(x1)时： x1->y2连通,且y2没有匹配，于是vMath[y2]=x1
find(x2)本体中：vMath[y1]=x2 $\underline{ x2 \rightarrow y1} \rightarrow \underline{ x1 \rightarrow y2 }$

证明：
如果找不到以x为起点的增广路径，则选择几条边，就需要删除几条边。边数不变。

代码

核心代码

class CNeiBo
{
public:	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) {vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext){vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount);auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c){if ((r < 0) || (r >= rCount)){return;}if ((c < 0) || (c >= cCount)){return;}if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c)){vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c);}};for (int r = 0; r < rCount; r++){for (int c = 0; c < cCount; c++){Move(r, c, r + 1, c);Move(r, c, r - 1, c);Move(r, c, r, c + 1);Move(r, c, r, c - 1);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat){vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++){for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++){if (neiBoMat[i][j]){neiBo[i].emplace_back(j);neiBo[j].emplace_back(i);}}}return neiBo;}
};class CBipartiteGraph
{
public:int MaxMatch(){m_vYToX.assign(m_vY.size() + m_vX.size(),-1);int ans = 0;for (const auto& x : m_vX){m_vUsed.assign(m_vY.size() + m_vX.size(),false);ans += Find(x);}return ans;}bool Find(int x){		for (const auto& y : m_vNeiBo[x]){if (m_vUsed[y]){continue;}m_vUsed[y] = true;if ((-1 == m_vYToX[y]) || (Find(m_vYToX[y]))){m_vYToX[y] = x;return true;}}return false;}vector<int> m_vX, m_vY;vector<vector<int>> m_vNeiBo;vector<int> m_vYToX;vector<bool> m_vUsed;
};
class Solution {
public:int domino(int n, int m, vector<vector<int>>& broken) {vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m));for (const auto& v : broken){grid[v[0]][v[1]] = 1;}auto vilidFun = [&grid](int r, int c) {return 0 == grid[r][c]; };CBipartiteGraph bg;for (int r = 0; r < n; r++){for (int c = 0; c < m; c++){const int mask = m * r + c;if ((r + c) & 1){bg.m_vY.emplace_back(mask);}else{bg.m_vX.emplace_back(mask);}}}bg.m_vNeiBo = CNeiBo::Grid(n, m, vilidFun, vilidFun);		return bg.MaxMatch();}
};

测试用例

template<class T, class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{int m, n;vector<vector<int>> broken;{Solution sln;n = 3, m = 3, broken = {  };auto res = sln.domino(n, m, broken);Assert(4, res);}{Solution sln;n = 2, m = 3, broken = { {0, 0},{0, 1} };auto res = sln.domino(n, m, broken);Assert(2, res);}{Solution sln;n = 2, m = 3, broken = { {1, 0},{1, 1} };auto res = sln.domino(n, m, broken);Assert(2, res);}{Solution sln;n = 4, m = 3, broken = { {1,0},{1,1} };auto res = sln.domino(n, m, broken);Assert(5, res);}{Solution sln;n = 3, m = 4, broken = { {2,2},{2,3} };auto res = sln.domino(n, m, broken);Assert(5, res);}}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快
速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛