文章目录
- 矩阵秩的基本公式
- 初等变换方法
- 线性方程组方法
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
矩阵秩的基本公式
均记矩阵 A A A 的秩为 r ( A ) r(A) r(A)
初等变换方法
结论1：
r ( k A ) = r ( A ) , ∀ k ≠ 0 r(kA)=r(A),\forall k\neq 0 r(kA)=r(A),∀k=0
由定义容易证明
结论2：
r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
证明：只需证 r ( A B ) ≤ r ( A ) r(AB)\leq r(A) r(AB)≤r(A)，记 A A A 的列向量组为 A 1 , … , A n A_1,\dots,A_n A1,…,An
注意到若任意 A i A_i Ai 能被 A i 1 , … , A i r A_{i_1},\dots,A_{i_r} Ai1,…,Air 线性表出，则任意 A i B A_iB AiB 能被 A i 1 B , … , A i r B A_{i_1}B,\dots,A_{i_r}B Ai1B,…,AirB 线性表出
这即说明 r ( A B ) ≤ r ( A ) r(AB)\leq r(A) r(AB)≤r(A)
结论3：
r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r \begin{pmatrix} A&O\\ O&B\\ \end{pmatrix}=r(A)+r(B) r(AOOB)=r(A)+r(B)
证明：相抵标准型，设 r ( A ) = r 1 , r ( B ) = r 2 r(A)=r_1,r(B)=r_2 r(A)=r1,r(B)=r2，则存在非异阵 P 1 , Q 1 P_1,Q_1 P1,Q1 和 P 2 , Q 2 P_2,Q_2 P2,Q2 使得
P 1 A Q 1 = ( I r 1 O O O ) , P 2 B Q 2 = ( I r 2 O O O ) P_1AQ_1=\begin{pmatrix} I_{r_1}&O\\ O&O\\ \end{pmatrix},P_2BQ_2=\begin{pmatrix} I_{r_2}&O\\ O&O\\ \end{pmatrix} P1AQ1=(Ir1OOO),P2BQ2=(Ir2OOO)则
( P 1 O O P 2 ) ( A O O B ) ( Q 1 O O Q 2 ) = ( I r 1 O O O O O O O O O I r 2 O O O O O ) \begin{pmatrix} P_1&O\\ O&P_2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A&O\\ O&B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q_1&O\\ O&Q_2\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} I_{r_1}&O&O&O\\ O&O&O&O\\ O&O&I_{r_2}&O\\ O&O&O&O\\ \end{pmatrix} (P1OOP2)(AOOB)(Q1OOQ2)= Ir1OOOOOOOOOIr2OOOOO 由此易得结论
结论4：
r ( A C O B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) , r ( A O D B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) r\begin{pmatrix} A&C\\ O&B\\ \end{pmatrix}\geq r(A)+r(B),r\begin{pmatrix} A&O\\ D&B\\ \end{pmatrix}\geq r(A)+r(B) r(AOCB)≥r(A)+r(B),r(ADOB)≥r(A)+r(B)
证明思路与结论3类似
结论5：
r ( A ∣ B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) , r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A|B)\leq r(A)+r(B),r\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}\leq r(A)+r(B) r(A∣B)≤r(A)+r(B),r(AB)≤r(A)+r(B)
证明：只需注意到
( I ∣ I ) ( A O O B ) = ( A ∣ B ) , ( A O O B ) ( I I ) = ( A B ) (I|I)\begin{pmatrix} A&O\\ O&B\\ \end{pmatrix}=(A|B), \begin{pmatrix} A&O\\ O&B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I\\I \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix} (I∣I)(AOOB)=(A∣B),(AOOB)(II)=(AB)
结论6：
r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) , r ( A − B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A+B)\leq r(A)+r(B),r(A-B)\leq r(A)+r(B) r(A+B)≤r(A)+r(B),r(A−B)≤r(A)+r(B)
证明：只需注意到
( A ∣ B ) ( I I ) = A + B , ( A ∣ B ) ( I − I ) = A − B (A|B)\begin{pmatrix} I\\I \end{pmatrix}=A+B, (A|B)\begin{pmatrix} I\\-I \end{pmatrix}=A-B (A∣B)(II)=A+B,(A∣B)(I−I)=A−B
结论7：
r ( A − B ) ≥ ∣ r ( A ) − r ( B ) ∣ r(A-B)\geq |r(A)-r(B)| r(A−B)≥∣r(A)−r(B)∣
由结论6容易证明： r ( A − B ) + r ( A ) ≥ r ( B ) r(A-B)+r(A)\geq r(B) r(A−B)+r(A)≥r(B)
结论8：（Sylvester不等式）
r ( A B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) − n r(AB)\geq r(A)+r(B)-n r(AB)≥r(A)+r(B)−n其中 n n n 为 A A A 的列指标，也是 B B B 的行指标
证明：只需注意到，用初等变换可得
( I n O O A B ) → ( B I n O A ) \begin{pmatrix} I_n&O\\ O&AB\\ \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} B&I_n\\ O&A\\ \end{pmatrix} (InOOAB)→(BOInA)
结论9：（Sylvester不等式的推广）
设 n n n 阶方阵 A 1 , A 2 , … , A m A_1,A_2,\dots,A_m A1,A2,…,Am ，则
r ( A 1 ) + r ( A 2 ) + ⋯ + r ( A m ) ≤ ( m − 1 ) n + r ( A 1 A 2 ⋯ A m ) r(A_1)+r(A_2)+\cdots+r(A_m)\leq (m-1)n+r(A_1A_2\cdots A_m) r(A1)+r(A2)+⋯+r(Am)≤(m−1)n+r(A1A2⋯Am)
结论10：（Frobenius不等式）（Sylvester不等式的另一推广）
r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) − r ( B ) r(ABC)\geq r(AB)+r(BC)-r(B) r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B)
证明：只需注意到，用初等变换可得
( A B C O O B ) → ( A B O B B C ) \begin{pmatrix} ABC&O\\ O&B\\ \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} AB&O\\ B&BC\\ \end{pmatrix} (ABCOOB)→(ABBOBC)
结论11：幂等矩阵关于秩的刻画
n n n 阶矩阵是幂等矩阵（即 A 2 = A A^2=A A2=A ）当且仅当
r ( A ) + r ( I n − A ) = n r(A)+r(I_n-A)=n r(A)+r(In−A)=n
证明：只需注意到，用初等变换可得
( A O O I − A ) → ( A − A 2 O O I ) \begin{pmatrix} A&O\\ O&I-A\\ \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} A-A^2&O\\ O&I\\ \end{pmatrix} (AOOI−A)→(A−A2OOI)
结论11：对合矩阵关于秩的刻画
n n n 阶矩阵是对合矩阵（即 A 2 = I n A^2=I_n A2=In ）当且仅当
r ( I n + A ) + r ( I n − A ) = n r(I_n+A)+r(I_n-A)=n r(In+A)+r(In−A)=n
证明：只需注意到，用初等变换可得
( I n + A O O I n − A ) → ( 1 2 ( I n − A 2 ) O O 2 I n ) \begin{pmatrix} I_n+A&O\\ O&I_n-A\\ \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(I_n-A^2)&O\\ O&2I_n\\ \end{pmatrix} (In+AOOIn−A)→(21(In−A2)OO2In)
结论12：
设 n n n 阶矩阵 A A A，则 r ( A ) + r ( I n + A ) ≥ n r(A)+r(I_n+A)\geq n r(A)+r(In+A)≥n
证明：只需注意到，用初等变换可得
( A O O I n + A ) → ( A 2 + A O O I n ) \begin{pmatrix} A&O\\ O&I_n+A\\ \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} A^2+A&O\\ O&I_n\\ \end{pmatrix} (AOOIn+A)→(A2+AOOIn)
结论13：（秩的降阶公式）
- 若 A A A 可逆，则
r ( A B C D ) = r ( A ) + r ( D − C A − 1 B ) r\begin{pmatrix} A&B\\ C&D\\ \end{pmatrix} =r(A)+r(D-CA^{-1}B) r(ACBD)=r(A)+r(D−CA−1B) - 若 D D D 可逆，则
r ( A B C D ) = r ( D ) + r ( A − B D − 1 C ) r\begin{pmatrix} A&B\\ C&D\\ \end{pmatrix} =r(D)+r(A-BD^{-1}C) r(ACBD)=r(D)+r(A−BD−1C) - 若 A , D A,D A,D 均可逆，则
r ( A ) + r ( D − C A − 1 B ) = r ( D ) + r ( A − B D − 1 C ) r(A)+r(D-CA^{-1}B)=r(D)+r(A-BD^{-1}C) r(A)+r(D−CA−1B)=r(D)+r(A−BD−1C)
结论14：
设 A , B A,B A,B 都是数域 K \mathbb{K} K 上的 n n n 阶矩阵且 A B = B A AB=BA AB=BA，则
r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) − r ( A B ) r(A+B)\leq r(A)+r(B)-r(AB) r(A+B)≤r(A)+r(B)−r(AB)
证明：（方法1）
只需注意到
( I I O I ) ( A O O B ) ( I − B I A ) = ( A + B O B A B ) \begin{pmatrix} I&I\\O&I\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A&O\\O&B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I&-B\\ I&A\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A+B&O\\B&AB\\ \end{pmatrix} (IOII)(AOOB)(II−BA)=(A+BBOAB)
线性方程组方法
结论15：
设 A A A是 m × n m\times n m×n 型矩阵，齐次线性方程组 A X = 0 AX=0 AX=0 的解空间为 V V V，则
dim V + r ( A ) = n \dim{V}+r(A)=n dimV+r(A)=n
结论16：
- 设 A A A 是 m × n m\times n m×n 阶实矩阵，则
r ( A ′ A ) = r ( A A ′ ) = r ( A ) r(A'A)=r(AA')=r(A) r(A′A)=r(AA′)=r(A) - 设 A A A 是 m × n m\times n m×n 阶复矩阵，则
r ( A ‾ ′ A ) = r ( A A ‾ ′ ) = r ( A ) r(\overline{A}'A)=r(A\overline{A}')=r(A) r(A′A)=r(AA′)=r(A)
证明1：由结论15，只需证 A X = 0 AX=0 AX=0 与 A ′ A X = 0 A'AX=0 A′AX=0 同解
一方面，显然 A X = 0 AX=0 AX=0 的解都是 A ′ A X = 0 A'AX=0 A′AX=0 的解
另一方面， A ′ A X = 0 A'AX=0 A′AX=0 的解满足 X ′ A ′ A X = ( A X ) ′ A X = 0 X'A'AX=(AX)'AX=0 X′A′AX=(AX)′AX=0，则 A X = 0 AX=0 AX=0
结论17
方程组 A B X = 0 ABX=0 ABX=0 和方程组 B X = 0 BX=0 BX=0 同解当且仅当 r ( A B ) = r ( B ) r(AB)=r(B) r(AB)=r(B)
参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著
