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343. 整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

解题思路

这个问题可以使用动态规划来解决。我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示将正整数 i 拆分后可以获得的最大乘积。

首先，我们初始化 dp[1] = 1，因为任何数拆分成两个数的乘积最小值为 1 * 1 = 1。

然后，我们从正整数 2 开始，依次计算 dp 数组的值。对于每个正整数 i，我们通过迭代 j（j 的范围是从 1 到 i - 1）来计算 dp[i]。对于每个 j，我们计算两种情况下的最大值：

1. j * (i - j)：将 i 拆分成 j 和 i - j 两个数相乘的结果。
2. j * dp[i - j]：将 i 拆分成 j 和 dp[i - j] 两个数相乘的结果。

代码实现

class Solution {public int integerBreak(int n) {int[] dp = new int[n + 1];dp[1] = 1; // 初始化 dp[1]for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 1; j < i; j++) {dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));}}return dp[n];}
}

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示

解题思路

我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从起始点到达网格的位置 (i, j) 的不同路径数。根据题目要求，如果某个位置有障碍物，那么该位置的路径数为 0。

接下来，我们可以根据动态规划的状态转移方程来计算 dp 数组。状态转移方程如下：

• 如果当前位置 (i, j) 是障碍物（obstacleGrid[i][j] == 1），那么 dp[i][j] = 0；
• 否则，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，即当前位置的路径数等于上方和左方位置的路径数之和。

最终，dp[m-1][n-1] 即为从起始点到达右下角的不同路径数。

代码实现

class Solution {public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.length;int n = obstacleGrid[0].length;int[][] dp = new int[m][n];// 初始化起始点dp[0][0] = obstacleGrid[0][0] == 1 ? 0 : 1;// 初始化第一列for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = obstacleGrid[i][0] == 1 ? 0 : dp[i-1][0];}// 初始化第一行for (int j = 1; j < n; j++) {dp[0][j] = obstacleGrid[0][j] == 1 ? 0 : dp[0][j-1];}// 计算其余位置的路径数for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = obstacleGrid[i][j] == 1 ? 0 : dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
}