第14章动态规划

动态规划

  • 确定递推状态： f(n)+解释
  • 确定递推公式
  • 程序实现

优化：

  • 去除冗余状态
  • 状态重定义
  • 优化转移过程
  • 斜率优化

优化-递归+记忆化

if arr[n] return arr[n]

递归+记忆化(正向求解-递归) 或 改变求解顺序（逆向递归求解-循环） ： 解决效率问题

用long long ，或者更大的：解决数值溢出，不够大问题

HZOJ 38 兔子繁殖问题

  1. 确定递推状态： f(n)为第n个月的时候兔子的数量
  2. 确定递推公式: f(1)=1 | f(2)=2 | f(n)=f(n-1)+f(n-2)
  3. 程序实现
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 100
int digui_jiyihua_arr[MAX_N+5]={0};int f(int n){if(n<=2) return n;if(digui_jiyihua_arr[n])return digui_jiyihua_arr[n]; //优化-增加记忆点,解决超时问题digui_jiyihua_arr[n]=f(n-1)+f(n-2);return digui_jiyihua_arr[n];
}
void acm_1_14_digui_jiyihua_test(){int n;cin>>n;cout << f(n) <<endl;
}

改变求解顺序

从低到高

long long acm_1_14_digui_jiyihua_f[105]={0};
void acm_1_14_digui_jiyihua_test2(){int n;cin>>n;acm_1_14_digui_jiyihua_f[1]=1;acm_1_14_digui_jiyihua_f[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){acm_1_14_digui_jiyihua_f[i]=acm_1_14_digui_jiyihua_f[i-1]+acm_1_14_digui_jiyihua_f[i-2];}cout << acm_1_14_digui_jiyihua_f[n] <<endl;
}

//
// Created by cry on 2024/3/24.
//
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 100
long long digui_jiyihua_arr[MAX_N+5]={0};long long f(int n){if(n<=2) return n;if(digui_jiyihua_arr[n])return digui_jiyihua_arr[n]; //优化-增加记忆点,解决超时问题digui_jiyihua_arr[n]=f(n-1)+f(n-2);return digui_jiyihua_arr[n];
}
void acm_1_14_digui_jiyihua_test(){int n;cin>>n;cout << f(n) <<endl;
}
//大整数
class BigInt:
public vector<int>{public:BigInt(){push_back(0);}BigInt(int x){this->push_back(x);process_digit();//处理大整数进位问题}//重载+=运算BigInt &operator+=(const BigInt &a){for(int i=0;i<a.size();i++){if(i >= size()) //如果位数超出了{push_back(a[i]);}else at(i)+=a[i];}process_digit();return *this;}//重载加法运算BigInt operator+(const BigInt &a){BigInt ret(*this);//拷贝一下当前ret+=a;return ret;}//重载左移运算符//进位void process_digit() {for (int i = 0; i < size(); i++) {if (at(i) < 10) continue; //当前位置的值小于10，不需要处理//当前位置的值大于10，就进位if (i == size() - 1) push_back(0); //增加一位at(i + 1) += at(i) / 10;at(i) %= 10;}return ;}
};
// 重写左移运算符
ostream &operator<<(ostream &out,const BigInt &a){for(int i=a.size()-1;i>=0;i--){out << a[i];}return out;
}
BigInt acm_1_14_digui_jiyihua_f[105]={0};
void acm_1_14_digui_jiyihua_test2(){int n;cin>>n;acm_1_14_digui_jiyihua_f[1]=1;acm_1_14_digui_jiyihua_f[2]=2;for(int i=3;i<=n;i++){acm_1_14_digui_jiyihua_f[i]=acm_1_14_digui_jiyihua_f[i-1]+acm_1_14_digui_jiyihua_f[i-2];}cout << acm_1_14_digui_jiyihua_f[n] <<endl;
}
int main() {acm_1_14_digui_jiyihua_test2();return 0;
}

python解法 只需要记忆化就行了，类型不会出问题

#第一代，缺点：效率低 且 数据类型不够大
# dp_1(65) 直接跑不完
def dp_1(n):if(n<=2):return nreturn dp_1(n-1)+dp_1(n-2)
# 解决：添加记忆化
MAX_N=100
arr=[0]*(MAX_N+5)
def dp_2(n):if(n<=2):return nif arr[n]:return arr[n]arr[n]=dp_2(n-1)+dp_2(n-2)return arr[n]
n=int(input())
print(dp_2(n))
# 改变求解顺序
def dp_3(n):arr=[0]*(MAX_N+5)if(n<=2):return narr[1]=1arr[2]=2for i in range(3,n+1):arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2]return arr[n]
print(dp_3(n))

容斥原理的基本思想

  1. 在计数的时候为了没有重复 没有遗漏
  2. 再不考虑重叠的情况，把包含于某内容的所有对象数目先计算出来，然后把计数时重复的计算的数目排斥出去

加多的减掉，减多了加回来

  1. 结果既无遗漏又无重复—容斥原理

钱币问题

  • 确定递推状态： f[i][j]表示用i种钱币，凑足j元钱的方法总数

1 2 5 f(2)(5) ,前两种钱币凑5块有1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1三种

  • 确定递推公式

拆分：分成两个不相交的子集

​ a. 没有使用第i种钱币

​ b. 使用了第i种钱币

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-w[i]]

w:1 2 5

f(3)(5)=f(3-1)(5)+f(3)(5-5)

​ =f(2)(5)+f(3)(0)

​ =f(1)(5)+f(2)(3)+f(3)(0)

​ =f(1)(5)+f(1)(3)+f(2)(1)+f(3)(0)

​ =f(1)(5)+f(1)(3)+f(1)(1)+f(2)(0)+f(3)(0)

​ =f(0)(5)+f(0)(3)+f(0)(1)+f(1)(0)+f(2)(0)+f(3)(0)

​ =0+0+0+0+1+1+1

​ =3

  • 程序实现
//
// Created by cry on 2024/3/27.
//
#include <iostream>using namespace std;
#define MAX_N 10000
#define MAX_M 20
int w[MAX_N+5];
int f[MAX_M+5][MAX_N+5]; //前m种钱币拼凑n元钱
void acm_1_14_dp_money_test(){int m,n;cin >> m>> n;for(int i=1;i<=m;i++) { //钱币类型遍历cin >> w[i];}for(int i=1;i<=m;i++){f[i][0]=1; //前i种钱币凑0元钱为1种// 因为f(2)(5)+f(3)(0)=f(3)(5)// 3+1=4，所以f(3)(0)为1for (int j = 1; j <= n; j++) {f[i][j]=f[i-1][j];if(j<w[i])continue; //小于第i种钱币的面额f[i][j]+=f[i][j-w[i]];f[i][j] %= 9973;}}cout << f[m][n] << endl;
}

使用python实现

def get_dp_dp_money(m,n,w):# f=[[0]*(n+5)]*(m+5) //同一个地址f=[[0]*(n+5) for _ in range(m+5)] # 不同地址for i in range(1,m+1):f[i][0]=1 # 终止条件for j in range(1,n+1):f[i][j]=f[i-1][j]if(j<w[i-1]):continue #f(1)(3)没有值，为0f[i][j]+=f[i][j-w[i-1]]f[i][j]%=9973print(f[m][n])if __name__=='__main__':m,n=list(map(int,input().split(" ")))w=list(map(int,input().split(" ")))w.append(0)get_dp_dp_money(m,n,w)

HZOJ40：爬楼梯

  • 确定递推状态： f[n]表示n级的方法总数

1 2 5 f(2)(5) ,前两种钱币凑5块有1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1三种

  • 确定递推公式

拆分：分成两个不相交的子集，且相加为全集

​ a. 最后一步跨两步：走到f[n-2]台阶的方法总数

​ b. 最后一步跨三步：走到f[n-3]台阶的方法总数

f[n]=f[n-2]+f[n-3]

  • 程序实现
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 500
int res[MAX_N+5];
void acm_1_14_dp_palouti_test(){int n;res[0]=1;res[1]=0;res[2]=1;cin >> n;for(int i=3;i<=n;i++){res[i]=res[i-2]+res[i-3];}cout <<res[n]<<endl;
}

python

def palouti():n=int(input())res=[0]*505res[1]=0res[0]=1res[2]=1;for i in range(3,n+1):res[i]=res[i-2]+res[i-3]print(res[n])palouti()

HZOJ 41：墙壁涂色

n块墙壁可以涂k种颜色

墙壁呈现环形，相邻两块墙壁不能相同

  • 确定递推状态：

    f[n][i][j]：n块墙壁，首墙壁i种颜色，尾墙壁j种颜色的方案数

  • 确定递推公式

拆分：分成两个不相交的子集，且相加为全集

​ a. 最后一步跨两步：走到f[n-2]台阶的方法总数

​ b. 最后一步跨三步：走到f[n-3]台阶的方法总数

f[n][i][j]=f[n-1][i][k] 且k!=j 最后累加: 首尾可能相同

f[n][i][j] 且 i!=j的项累加 :剔除首尾相同的

边界条件：f[1]={1,0,0, 0,1,0 0,0,1}

  • 程序实现
    解决内存超界的方法：使用滚动数组
//
// Created by cry on 2024/3/27.
//
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 1000
#define MAX_K 10
int ys[2][MAX_K+5][MAX_K+5]; //使用滚动数组解决内存超限问题
void acm_1_14_dp_qiangBiTuSe_test(){int n,k;cin >> n>>k; //读取数据：n块墙壁涂k种颜色for(int i=1;i<=k;i++){ys[1][i][i]=1;} //初始化，f[1] ,对角线元素为1，其余为0for(int ws=2;ws<=n;ws++){for(int i=1;i<=k;i++){for(int j=1;j<=k;j++){ys[ws %2][i][j]=0;for(int l=1;l<=k;l++){if(l==j){ continue;}ys[ws%2][i][j]+=ys[(ws-1)%2][i][l];}}}}//提出i==j的部分int ans=0;for(int i=1;i<=k;i++){for(int j=1;j<=k;j++){if(i==j){ continue;}ans+=ys[n%2][i][j];}}cout << ans << endl;}

python

#!/usr/bin/python3
# _*_ coding: utf-8 _*_
#
# Copyright (C) 2024 - 2024 Cry, Inc. All Rights Reserved
#
# @Time    : 2024/3/27 15:03
# @Author  : Cry
# @File    : 墙壁涂颜色.py
# @IDE     : PyCharmMAX_N = 1000
MAX_K = 10
# f = [[[0] * (MAX_K + 5)] * (MAX_K + 5)] * 2 # f 是一个包含两个元素的列表。每个元素都是一个包含 (MAX_K + 5) * (MAX_K + 5) 个元素的二维列表。这意味着 f[0] 和 f[1] 是两个指向内存中相同位置的引用，因此，如果你修改 f[0]，f[1] 也会受到影响
f = [[[0] * (MAX_K + 5) for _ in range(MAX_K + 5)] for _ in range(2)]
#f 是一个包含两个元素的列表。每个元素都是一个包含 (MAX_K + 5) * (MAX_K + 5) 个元素的二维列表。但是，与第一行代码不同的是，这里的两个二维列表是独立的，它们并不共享内存中的相同位置。因此，如果你修改 f[0]，f[1] 不会受到影响。def qiangbitumo():n, k = list(map(int, input().split(" ")))for i in range(1, k + 1):f[1][i][i] = 1  # 对角线元素为1for ws in range(2, n + 1):for i in range(1, k + 1):for j in range(1, k + 1):f[ws % 2][i][j] = 0for l in range(1, k + 1):if l == j:continuef[ws % 2][i][j] += f[(ws - 1) % 2][i][l];ans = 0for i in range(1, k + 1):for j in range(1, k + 1):if i == j:continueans += f[n % 2][i][j]print(ans)qiangbitumo()

洛谷P1025 数的划分

  • 确定递推状态：

    f(i)(j)：数字i分成j份的方法总数

  • 确定递推公式

拆分：分成两个不相交的子集，且相加为全集

​ a. 拆分的方案中有1的方案总数 ：去掉1：剩下的总和为f(i-1)(j-1)

​ b. 拆分的方案中没有1的方案总数：每份都减去1，减j个1：f(i-j)(j)

递推公式：f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]

边界条件：f[0][0]=1 f[i][1]=1

  • 程序实现

学习：在固定份数的前提统计：全集分成两个集合：

按照有1和没有1，有1减1，没有1每份都减去1

//
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 200
#define MAX_K 6
int f1[MAX_N+5][MAX_K+5];
void acm_1_14_dp_shudehuafen_test(){int n,k;cin >> n >> k;
//    f(i)(j)=f(i-1)(j-1)+f(i-j)(j)f1[0][0]=1;  //将0拆成0份，方法为1for(int i=1;i<=n;i++){
//        设置边界条件f1[i][1]=1; //将i拆成1份，拆成方法总数为1
//        f[0][j] =0  f[i][1]=1for(int j=1,J=min(i,k);j<=J;j++){f1[i][j]=f1[i-1][j-1]+f1[i-j][j];}}cout << f1[n][k] <<endl;
}
int main(){acm_1_14_dp_shudehuafen_test();return 0;
}

python

# 定义最大值
MAX_N = 200
MAX_K = 6# 初始化动态规划数组
f1 = [[0] * (MAX_K + 5) for _ in range(MAX_N + 5)]def acm_1_14_dp_shudehuafen_test():# 输入 n 和 kn, k = map(int, input().split())# 初始化边界条件f1[0][0] = 1# 动态规划过程for i in range(1, n + 1): #求1到n的每个数的分成k份的份数f1[i][1] = 1 #分1份为1for j in range(1, min(i, k) + 1):f1[i][j] = f1[i - 1][j - 1] + f1[i - j][j]# 输出结果print(f1[n][k])acm_1_14_dp_shudehuafen_test()

洛谷1028 数的计算

  • 确定递推状态：

    f(i)：以i开头的合法数列数量

  • 确定递推公式

拆分：分成两个不相交的子集，且相加为全集

​ a. 不扩展：只有一个i 1个

​ b. 能扩展的，从i/2 i/2-1 i/2-2 … 1

递推公式：f[i]=1+Σf[j] (j<=i/2)

边界条件：f[1]=1 f[i][1]=1

  • 程序实现

学习：在固定份数的前提统计：全集分成两个集合：

按照有1和没有1，有1减1，没有1每份都减去1

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 1000
int f2[MAX_N+5]={0};
void acm_1_14_dp_shudejisuan_test(){int n;cin >> n;//边界条件f2[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){f2[i]=1;for(int j=1;j<=i/2;j++){f2[i]+=f2[j]; //f[i]=1+Σ f[i/2]}}cout << f2[n] << endl;
}
int main(){acm_1_14_dp_shudejisuan_test();return 0;
}

python

def getNum():n=int(input())f=[0]*1005for i in range(1,n+1):f[i]=1for j in range(1,i//2+1):f[i]+=f[j]print(f[i])
getNum()

洛谷P1038 神经网络

使用拓扑序列计算神经元

Ci=Σ(WijCj) - Ui

拓扑序用于AOV网中，拓扑序是先行关系的 序列，前面的神经元是后面神经元的先行活动。

拓扑序生成原理：

  1. 将入度为0的点输出(无前驱的活动)
  2. 将 上一步输出的节点所在的弧都删除
  3. 重复第一第二步
  4. 若输出顶点数< 有向涂顶点数，则有回路，否则输出的即为拓扑序列
//
// Created by cry on 2024/3/28.
//
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>using namespace std;
#define MAX_N 100
//Ci=Σ(w3ijCj) - Ui
int c[MAX_N+5];//状态值 Ci
int u[MAX_N+5];//被减去的 Ui
int w3[MAX_N+5][MAX_N+5 ]; //wij
vector<int> g[MAX_N+5];//每个节点指向的节点
int outdeg[MAX_N+5];//出度
int indeg[MAX_N+5];//出度
void acm_1_14_dp_shenjingwangluo_test(){//读取数据int n,p;cin >>n >>p;//读取每个节点的c值和u值for( int i=1;i<=n;i++){cin >> c[i] >> u[i];//如果是输入层节点，直接为-u[i]if (c[i]==0)c[i]=-u[i];}//读取若干条边的值for(int i=0,a,b,W3;i<p;i++){cin >> a >> b >>W3;w3[a][b]=W3; //w3[i][j]indeg[b]+=1;//入度+1outdeg[a]+=1; //出度+1g[a].push_back(b); //添加出边}queue<int> q;//将入度为0的点都加入到队列，将输入层节点都加进去(入度为0)for(int i=1;i<=n;i++){if(indeg[i])continue;q.push(i);}//开始按照拓扑序依次计算每个序列的值while(!q.empty()){int ind=q.front(); //计算当前节点状态值q.pop();if(c[ind]>0){ //当前节点被激活for(int i=0;i<g[ind].size();i++){int to=g[ind][i];c[to]+=w3[ind][to] * c[ind];//将index权值传播给下一个节点}}//将下一层节点所有入度-1for (int i=0;i<g[ind].size();i++) {int to=g[ind][i];indeg[to]-=1;if(indeg[to]==0){q.push(to); //入度为0，添加到输出}}}int flag=0;//如果输出层都<=0，就输出NULLfor(int i=1;i<=n;i++){if(outdeg[i]) continue; //出度不为0 过if(c[i]<=0) continue; //未被激活 过cout << i<<" "<<c[i]<<endl;flag=1;}if(flag==0) cout <<"NULL" <<endl;}

python

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-MAX_N = 100c = [0] * (MAX_N + 5)  
u = [0] * (MAX_N + 5)  
w3 = [[0] * (MAX_N + 5) for _ in range(MAX_N + 5)]  # wij
g = [[] for _ in range(MAX_N + 5)] 
outdeg = [0] * (MAX_N + 5)  
indeg = [0] * (MAX_N + 5)def acm_1_14_dp_shenjingwangluo_test():n, p = map(int, input().split())for i in range(1, n + 1):c[i], u[i] = map(int, input().split())if c[i] == 0:c[i] = -u[i]for i in range(p):a, b, w = map(int, input().split())w3[a][b] = w  # w3[i][j]indeg[b] += 1  # 入度 +1outdeg[a] += 1  # 出度 +1g[a].append(b)  q = []for i in range(1, n + 1):if indeg[i]:continueq.append(i)while q:ind = q.pop(0)  if c[ind] > 0:  for i in range(len(g[ind])):to = g[ind][i]c[to] += w3[ind][to] * c[ind]for i in range(len(g[ind])):to = g[ind][i]indeg[to] -= 1if indeg[to] == 0:q.append(to)  flag = 0for i in range(1, n + 1):if outdeg[i]:continueif c[i] <= 0:continueprint(f"{i} {c[i]}")flag = 1if not flag:print("NULL")acm_1_14_dp_shenjingwangluo_test()

洛谷1044栈

1到n的栈的输出所有可能

  • 定义递归状态

    f[n]代表n个的合法方案数

  • 推导递推公式

分割：出战数字结尾为n到1的方案的数量，然后加起来，结果为f[n]总和

最后一个出栈数字为x的时候条件：

  1. 小于x的数字进行入栈出栈
  2. 所有小于x的数字在x入栈之前出完栈
  3. x一直在栈底，比x大的数字一直入栈出栈

当x作为结尾的方案总数为：f(x-1) * f(n-x) :小于x的方案数量乘上大于x的方案数量

  • 写代码
//
// Created by cry on 2024/3/28.
//
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX_N 18
int f_zhan[MAX_N+5];
void acm_1_14_dp_zhan_test(){int n;cin >> n;f_zhan[0]=1;for (int i=1;i<=n;i++) {f_zhan[i]=0;for(int x=1;x<=i;x++){f_zhan[i]+=f_zhan[x-1]*f_zhan[i-x];}}cout << f_zhan[n]<<endl;
}
int main(){acm_1_14_dp_zhan_test();return 0;
}

python

def zhan():n=int(input())f=[0]*20f[0]=1for i in range(1,n+1):f[i]=0for x in range(1,i+1):f[i]+=f[x-1]*f[i-x]print(f[n])
zhan()

洛谷1050 循环

打表：

输出y值

//
// Created by cry on 2024/3/28.
//
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>using namespace std;
//大整数
class BigInt:public vector<int>{
public:
//    构造函数BigInt(){push_back(0);}BigInt(int n,int v):vector<int>(n,v){}BigInt(int x){push_back(x);process_digit();return;
}BigInt(string &s,int k) {for(int i=0,j=s.size()-1;i<k;i++,j--){push_back(s[j]-'0');}return ;
}BigInt operator*(const BigInt &a){BigInt ret(min(MaxLen,int(size()+a.size()-1)),0);for(int i=0;i<size();i++){for(int j=0;j<a.size();j++){if(i+j >=MaxLen)continue; //超过最大长度ret[i+j]+=at(i)*a[j];}}ret.process_digit();return ret;}BigInt &operator *=(int x){for(int i=0;i<size();i++)at(i)*=x;process_digit();return *this;
}static int MaxLen;private:void process_digit(){ //进位for(int i=0;i<size();i++){if(at(i)<10)continue;if(i+1<MaxLen) {if (i + 1 == size()) push_back(0);at(i + 1) += at(i) / 10;}at(i) %= 10;}return ;
}
};int BigInt::MaxLen=0;
ostream &operator<<(ostream &out,const BigInt &a){for(int i=a.size()-1;i>=0;--i){out << a[i];}return out;
}
int acm_1_14_dp_xunhuan_test(){string s;int k;cin >> s>>k;BigInt::MaxLen=k;BigInt n(s,k);BigInt pre_y=n,y;vector<int> arr;for(int i=0;i<n.size();i++){y=pre_y;int cnt=1;while((y*n).at(i)!=n[i]){y=y*pre_y;cnt+=1;if(cnt ==11)break; //当前位置不存在循环节}if(cnt ==11){cout <<"-1" <<endl;return 0;}arr.push_back(cnt);pre_y=y;}BigInt ans=1;for(int i=0;i<arr.size();i++){ans *= arr[i];}cout << ans << endl;return 0;
}
int main() {acm_1_14_dp_xunhuan_test();return 0;
}
//32 2
//4at(i) %= 10;}return ;
}
};int BigInt::MaxLen=0;
ostream &operator<<(ostream &out,const BigInt &a){for(int i=a.size()-1;i>=0;--i){out << a[i];}return out;
}
int acm_1_14_dp_xunhuan_test(){string s;int k;cin >> s>>k;BigInt::MaxLen=k;BigInt n(s,k);BigInt pre_y=n,y;vector<int> arr;for(int i=0;i<n.size();i++){y=pre_y;int cnt=1;while((y*n).at(i)!=n[i]){y=y*pre_y;cnt+=1;if(cnt ==11)break; //当前位置不存在循环节}if(cnt ==11){cout <<"-1" <<endl;return 0;}arr.push_back(cnt);pre_y=y;}BigInt ans=1;for(int i=0;i<arr.size();i++){ans *= arr[i];}cout << ans << endl;return 0;
}
int main() {acm_1_14_dp_xunhuan_test();return 0;
}
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