算法随笔 - 容斥原理学习

890. 能被整除的数 - AcWing题库

在补牛客多校7的I题I-We Love Strings_2023牛客暑期多校训练营7 (nowcoder.com)时发现处理重复集合用了容斥原理来做，感觉我对容斥原理不太熟悉，因此上网学了学容斥原理。

n个集合的容斥原理的公式为：
$\cup_{i=1}^mS_i = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 ...+S_m - (S_1 \cap S_2 + S_1 \cap S_3 + ... + S_m-1 \cap S_m) + S_1 \cap S_2 \cap S_3 + S_1 \cap S_2 \cap S_4 ... +/- ...$
实际上，就是奇数项是加上这个集合的元素，偶数项是减去这个集合的元素。

时间复杂度是：
$C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + ... + C_n^n$
经过二项式化简，为O(2^n - 1)，因此是O(2^n)，指数级别的时间复杂度。

对于容斥原理的大部分题而言，枚举一定会超时的。但是可以用二进制进行优化。对于容斥原理的大部分题而言，n比较小，可以枚举2^n个，在里面套个枚举长度的。

e.g.

for(int k = 1; k < (1 << n); ++k) { // 枚举所有状态，一共2^nfor(int i = 0; i < n; ++i) { if(k >> i & 1) { // 第i个选的情况...}}// 选了奇数/偶数 再进行操作
}

注意：k >> i & 1中的 &

练习题：890. 能被整除的数 - AcWing题库

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <ctime>
#include <random>
#include <sstream>
#include <numeric>
#include <stdio.h>
#include <functional>
#include <bitset>
#include <algorithm>
using namespace std;// #define Multiple_groups_of_examples
#define IOS std::cout.tie(0);std::cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
#define dbgnb(a) std::cout << #a << " = " << a << '\n';
#define dbgtt cout<<" !!!test!!! "<<endl;
#define rep(i,x,n) for(int i = x; i <= n; i++)#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define pb push_back
#define vf first
#define vs secondtypedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 21;void inpfile();
void solve() {int n,m; cin>>n>>m;vector<int> p(m);for(auto &t: p) cin>>t;int ans = 0;for(int k = 1; k < ( 1 << m); ++k) {int cnt = 0; // 选了几个int t = 1;for(int i = 0; i < m; ++i) {if(k >> i & 1) { // 第i个是否可选if(1LL * t * p[i] > n) { // 如果相乘大于n，为0，直接break：因为可能有n^m，LL也超，需要大数运算t = -1;break;}cnt++;t *= p[i];}}if(t == -1) continue;// 容斥原理：奇数相加，偶数相减if(cnt % 2 !=  0) {ans += n / t;} else ans -= n / t;}cout<<ans;
}
int main()
{#ifdef Multiple_groups_of_examplesint T; cin>>T;while(T--)#endifsolve();return 0;
}
void inpfile() {#define mytest#ifdef mytestfreopen("ANSWER.txt", "w",stdout);#endif
}