Leetcode376. 摆动序列

Every day a Leetcode

题目来源：376. 摆动序列

解法1：动态规划

约定：

  1. 某个序列被称为「上升摆动序列」，当且仅当该序列是摆动序列，且最后一个元素呈上升趋势。
  2. 某个序列被称为「下降摆动序列」，当且仅当该序列是摆动序列，且最后一个元素呈下降趋势。
  3. 特别地，对于长度为 1 的序列，它既是「上升摆动序列」，也是「下降摆动序列」。
  4. 序列中的某个元素被称为「峰」，当且仅当该元素两侧的相邻元素均小于它。
  5. 序列中的某个元素被称为「谷」，当且仅当该元素两侧的相邻元素均大于它。
  6. 特别地，对于位于序列两端的元素，只有一侧的相邻元素小于或大于它，我们也称其为「峰」或「谷」。
  7. 对于序列中既非「峰」也非「谷」的元素，我们称其为「过渡元素」。

状态数组：

  1. up[i]：表示以前 i 个元素中的某一个为结尾的最长的「上升摆动序列」的长度。
  2. down[i]：表示以前 i 个元素中的某一个为结尾的最长的「下降摆动序列」的长度。

最终的状态转移方程为：

在这里插入图片描述

最终的答案即为 up[n−1] 和 down[n−1] 中的较大值，其中 n 是序列的长度。

代码：

/** @lc app=leetcode.cn id=376 lang=cpp** [376] 摆动序列*/// @lc code=start
class Solution
{
public:int wiggleMaxLength(vector<int> &nums){// 特判if (nums.size() <= 1)return nums.size();int n = nums.size();// 状态数组// up[i]：表示以前i个元素中的某一个为结尾的最长的「上升摆动序列」的长度vector<int> up(n + 1, 0);// down[i]：表示以前i个元素中的某一个为结尾的最长的「下降摆动序列」的长度vector<int> down(n + 1, 0);// 初始化// 对于长度为1的序列，它既是「上升摆动序列」，也是「下降摆动序列」up[1] = down[1] = 1;// 状态转移for (int i = 2; i <= n; i++){if (nums[i - 1] > nums[i - 2]){up[i] = max(up[i - 1], down[i - 1] + 1);down[i] = down[i - 1];}else if (nums[i - 1] < nums[i - 2]){up[i] = up[i - 1];down[i] = max(up[i - 1] + 1, down[i - 1]);}else{up[i] = up[i - 1];down[i] = down[i - 1];}}return max(up[n], down[n]);}
};
// @lc code=end

结果：

在这里插入图片描述

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 是序列的长度。我们只需要遍历该序列一次。

空间复杂度：O(n)，其中 n 是序列的长度。我们需要开辟两个长度为 n 的数组。

空间优化

代码：

/** @lc app=leetcode.cn id=376 lang=cpp** [376] 摆动序列*/// @lc code=start// 动态规划// class Solution
// {
// public:
//     int wiggleMaxLength(vector<int> &nums)
//     {
//         // 特判
//         if (nums.size() <= 1)
//             return nums.size();
//         int n = nums.size();
//         // 状态数组
//         // up[i]：表示以前i个元素中的某一个为结尾的最长的「上升摆动序列」的长度
//         vector<int> up(n + 1, 0);
//         // down[i]：表示以前i个元素中的某一个为结尾的最长的「下降摆动序列」的长度
//         vector<int> down(n + 1, 0);
//         // 初始化
//         // 对于长度为1的序列，它既是「上升摆动序列」，也是「下降摆动序列」
//         up[1] = down[1] = 1;
//         // 状态转移
//         for (int i = 2; i <= n; i++)
//         {
//             if (nums[i - 1] > nums[i - 2])
//             {
//                 up[i] = max(up[i - 1], down[i - 1] + 1);
//                 down[i] = down[i - 1];
//             }
//             else if (nums[i - 1] < nums[i - 2])
//             {
//                 up[i] = up[i - 1];
//                 down[i] = max(up[i - 1] + 1, down[i - 1]);
//             }
//             else
//             {
//                 up[i] = up[i - 1];
//                 down[i] = down[i - 1];
//             }
//         }
//         return max(up[n], down[n]);
//     }
// };// 动态规划-空间优化class Solution
{
public:int wiggleMaxLength(vector<int> &nums){// 特判if (nums.size() <= 1)return nums.size();int n = nums.size();int up = 1, down = 1;// 状态转移for (int i = 1; i < n; i++){if (nums[i] > nums[i - 1])up = max(up, down + 1);else if (nums[i] < nums[i - 1])down = max(down, up + 1);}return max(up, down);}
};
// @lc code=end

结果：

在这里插入图片描述

解法2：贪心

观察这个序列可以发现，我们不断地交错选择「峰」与「谷」，可以使得该序列尽可能长。证明非常简单：如果我们选择了一个「过渡元素」，那么在原序列中，这个「过渡元素」的两侧有一个「峰」和一个「谷」。不失一般性，我们假设在原序列中的出现顺序为「峰」「过渡元素」「谷」。如果「过渡元素」在选择的序列中小于其两侧的元素，那么「谷」一定没有在选择的序列中出现，我们可以将「过渡元素」替换成「谷」；同理，如果「过渡元素」在选择的序列中大于其两侧的元素，那么「峰」一定没有在选择的序列中出现，我们可以将「过渡元素」替换成「峰」。这样一来，我们总可以将任意满足要求的序列中的所有「过渡元素」替换成「峰」或「谷」。并且由于我们不断地交错选择「峰」与「谷」的方法就可以满足要求，因此这种选择方法就一定可以达到可选元素数量的最大值。

这样，我们只需要统计该序列中「峰」与「谷」的数量即可（注意序列两端的数也是「峰」或「谷」），但需要注意处理相邻的相同元素。

在实际代码中，我们记录当前序列的上升下降趋势。每次加入一个新元素时，用新的上升下降趋势与之前对比，如果出现了「峰」或「谷」，答案加一，并更新当前序列的上升下降趋势。

代码：

/** @lc app=leetcode.cn id=376 lang=cpp** [376] 摆动序列*/// @lc code=start// 动态规划// class Solution
// {
// public:
//     int wiggleMaxLength(vector<int> &nums)
//     {
//         // 特判
//         if (nums.size() <= 1)
//             return nums.size();
//         int n = nums.size();
//         // 状态数组
//         // up[i]：表示以前i个元素中的某一个为结尾的最长的「上升摆动序列」的长度
//         vector<int> up(n + 1, 0);
//         // down[i]：表示以前i个元素中的某一个为结尾的最长的「下降摆动序列」的长度
//         vector<int> down(n + 1, 0);
//         // 初始化
//         // 对于长度为1的序列，它既是「上升摆动序列」，也是「下降摆动序列」
//         up[1] = down[1] = 1;
//         // 状态转移
//         for (int i = 2; i <= n; i++)
//         {
//             if (nums[i - 1] > nums[i - 2])
//             {
//                 up[i] = max(up[i - 1], down[i - 1] + 1);
//                 down[i] = down[i - 1];
//             }
//             else if (nums[i - 1] < nums[i - 2])
//             {
//                 up[i] = up[i - 1];
//                 down[i] = max(up[i - 1] + 1, down[i - 1]);
//             }
//             else
//             {
//                 up[i] = up[i - 1];
//                 down[i] = down[i - 1];
//             }
//         }
//         return max(up[n], down[n]);
//     }
// };// 动态规划-空间优化// class Solution
// {
// public:
//     int wiggleMaxLength(vector<int> &nums)
//     {
//         // 特判
//         if (nums.size() <= 1)
//             return nums.size();
//         int n = nums.size();
//         int up = 1, down = 1;
//         // 状态转移
//         for (int i = 1; i < n; i++)
//         {
//             if (nums[i] > nums[i - 1])
//                 up = max(up, down + 1);
//             else if (nums[i] < nums[i - 1])
//                 down = max(down, up + 1);
//         }
//         return max(up, down);
//     }
// };// 贪心class Solution
{
public:int wiggleMaxLength(vector<int> &nums){// 特判if (nums.size() <= 1)return nums.size();int n = nums.size();int preDiff = nums[1] - nums[0];int ans = preDiff != 0 ? 2 : 1;for (int i = 2; i < n; i++){int diff = nums[i] - nums[i - 1];if ((diff > 0 && preDiff <= 0) || (diff < 0 && preDiff >= 0)){ans++;preDiff = diff;}}return ans;}
};
// @lc code=end

结果：

在这里插入图片描述

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 是序列的长度。我们只需要遍历该序列一次。

空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间来存放若干变量。

第二种贪心思路：统计变化次数

代码：

// 贪心2class Solution
{
public:int wiggleMaxLength(vector<int> &nums){// 特判if (nums.size() <= 1)return nums.size();int n = nums.size();int direction = 0; //-1表示下降，1表示上升int count = 0;     // 变化次数for (int i = 1; i < n; i++){if (nums[i] > nums[i - 1]){if (direction != 1){direction = 1;count++;}}else if (nums[i] < nums[i - 1]){if (direction != -1){direction = -1;count++;}}}// 因为统计的是变化的次数，最终的结果是序列的长度，所以需要+1return count + 1;}
};

结果：

在这里插入图片描述

复杂度分析：

时间复杂度：O(n)，其中 n 是序列的长度。我们只需要遍历该序列一次。

空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间来存放若干变量。

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