Python与供应链-2预测误差及指数平滑需求预测模型

主要介绍预测误差和指数平滑模型的相关理论，然后再通过Python的statsmodels封装的指数平滑函数预测需求。

1预测误差

预测误差是指预测结果与预测对象发展变化的真实结果之间的差距。这种误差分为绝对误差和相对误差。绝对误差是预测值与实际观测值的绝对差距，而相对误差则是这种绝对差距相对于观测值的百分比。从这里可以看出，预测都是错误的，只是错多错少的问题，那么该如何客观判断某个预测模型的效果好不好，以及它和其他预测模型相比效果如何？

这就要介绍关于如何评估预测误差的指标，也就是评估预测模型的误差，并围绕预测误差建立相关指标。按照Nicolas Vandeput的说法，先区分预测准确性（Accuracy）和预测偏差（Bias）

预测准确性衡量预测和真实值之间有多大的差距。预测准确性给出了误差（error）大小的概念，但不是它们的总体方向。

预测偏差代表历史平均误差的总体方向，它衡量预测是否过高或过低。

简单理解，假如预测了10次，预测准确性衡量的是每次预测值和真实值的误差是多少，它的衡量颗粒度是“每次预测”；而预测偏差则不关注每次预测误差是多少，它衡量的是相比较真实值，这10次预测值的平均误差，总体上是不是太高或太低。

以下图为例，每个圆点表示1次预测，六边形靶心表示最接近真实值用0环表示，由内往外的空心六边形分别用1环、2环和3环表示。如左上角的预测，它是预测准确但存在偏差的，每次的预测都落在2环（误差小，预测准确），但所有的预测误差分布都是聚集在一起，如果误差都是正的则表示预测值过高，反之则是预测值过低；而最左下的预测是准确且不偏差的，每次预测都落在0-1环（比左上角的预测误差更小，预测更准确），且所有预测误差分布均匀分布而非聚集在一起，这样的预测误差有正有负相互抵消，就不会出现预测过高或过低的偏差；右上角的预测是不准确且偏差的，每次的预测落在2-3环（误差大，预测不准确），而且所有预测误差分布都是聚集在一起，会出现预测过高或过低的偏差；右下角的预测是不准确但也不偏差的，每次预测落在0-2环（误差大，预测不准确），但所有预测误差分布均匀分布而非聚集在一起，不会出现预测过高或过低的偏差。

注：此图引自Nicolas Vandeput，Data Science for Supply Chain Forecasting一书

实际上，左下角准确且无偏差的预测，正是每个预测模型都追求的理想预测效果，而右上角不准确切偏差的预测，则是每个预测模型都在极力避免的糟糕预测效果，而左上角准确但偏差、右下角不准确但不偏差的预测则是介于理想和糟糕预测效果之间，是多数预测模型最常碰到的预测效果。

下面，我们通过数学定义预测误差。

假设有 $n$ 历史时期，定义第 $t$ 期的真是需求值为 $d_t{}$ ,预测需求值为 $f_t{}$ ，则该期的预测误差 $e_t{}$ 等于：

$e_t{}=f_t{}-d_t{}$

围绕预测误差就可以建立偏差（Bias）、平均绝对值百分比误差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）、平均绝对值误差（Mean Absolute Error，MAE）和均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）等一系列预测误差指标。这些指标适用于各种预测模型。

（1）偏差计算公式为

$bias=\frac{1}{n}\sum_{n}^{}e_t{}=\frac{1}{n}\sum_{n}^{}(f_t{}-d_t{})$

因为偏差可能有正有负，不太好比较判断，可以通过如下公式可以将偏差标准化到0-1间

（2）平均绝对值百分比误差（MAPE）计算公式为

(3) 平均绝对值误差（MAE）计算公式为

和偏差一样，可以通过如下公式可以将平均绝对值误差（MAE）标准化到0-1间

（4）均方根误差（RMSE）计算公式为

标准化公式为

如果不用开平方根的话，那么RMSE也可以直接转化为均方误差（MeanSquare Error，MSE），其计算公式为

估计大家在这个时候已经懵了：我们该选择哪个指标用以衡量预测误差？这个问题没有绝对的答案，多数时候需要结合数据特征和预测模型做试验验证，再从中选择合适的指标。Nicolas Vandeput从中位数和均值优化数值模型的角度，总结了如下建议：

（1）若以RMSE作为优化指标，它以需求平均值为目标进行优化；若以MAE作为优化指标，它将试图使需求过高与需求过低一样频，这意味着它以需求中值为目标进行优化。简而言之，MAE的优化目标是需求中值，而RMSE的优化目标是需求平均值。

（2）RMSE优化目标是需求平均值，它会给予越大的误差越大的权重，使预测不出现偏差，但对误差大的需求异常点特别敏感（会赋予大的权重）；MAE优化目标是需求中值，它对误差大的需求异常点不敏感，但会导致预测出现偏差。

（3）如果使用MAE导致大的预测偏差，我们可能想使用RMSE；如果数据集包含许多异常点，导致预测偏斜，我们可能想使用MAE。甚至可能同时使用两者指标。

Nicolas Vandeput总结建议的详细推导过程可参见著作Data Science for Supply Chain Forecasting。在接下来的预测中，我们将同时采用RMSE%和MAE%作为误差评估的指标。

2 时间序列预测：指数平滑法原理

指数平滑（exponential smoothing）法是应用广泛的时间序列预测方法，其核心思想是对上一期的真实需求和预测需求分别赋予权重，将两者加权和作为本期的预测需求值。指数平滑法有3种模型：

（1）简单指数平滑（Simple exponential smoothing），也叫1次指数平滑，适用于没有趋势和没有季节性特征的数据；

（2）Holt指数平滑（Holt exponential smoothing），也叫2次指数平滑，适用于有趋势但没有季节性特征的数据；其趋势又可分为加法和乘法类型，以及趋势衰减的阻尼（damped）模型；

（3）Holt-Winter指数平滑（（Holt-Winter exponential smoothing），也叫3次指数平滑，适用于有趋势和有季节性特征的数据；其趋势和季节性又可分为加法和乘法类型，因为是基于Holt指数平滑的基础再做1次平滑，所以也有趋势衰减的阻尼模型。

模型名称		数据特征
1次平滑	简单指数平滑	没有趋势、没有季节性特征
2次平滑	Holt指数平滑-加法模型	有趋势、没有季节性特征
	Holt指数平滑-乘法模型
	阻尼Holt指数平滑-加法模型
	阻尼Holt指数平滑-乘法模型
3次平滑	Holt-Winter指数平滑-加法模型	有趋势、有季节性特征
	Holt-Winter指数平滑-乘法模型
	阻尼Holt-Winter指数平滑-加法模