数学分析复习:振荡型级数的收敛判别

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  • 振荡型级数的收敛判别

本篇文章适合个人复习翻阅,不建议新手入门使用

振荡型级数的收敛判别

直观上,振荡型级数说的是级数各项有正有负,求和的时候可以相互抵消,故可能收敛

命题:Abel求和公式
设复数列 { a k } k ≥ 1 \{a_k\}_{k\geq 1} {ak}k1 { b k } k ≥ 1 \{b_k\}_{k\geq 1} {bk}k1,则
∑ k = 1 n a k b k = S n b n + ∑ k = 1 n − 1 S k ( b k − b k + 1 ) \sum\limits_{k=1}^na_kb_k=S_nb_n+\sum\limits_{k=1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k+1}) k=1nakbk=Snbn+k=1n1Sk(bkbk+1)
其中 S n = ∑ k = 1 n a k S_n=\sum\limits_{k=1}^na_k Sn=k=1nak 表示部分和

证明
只需将 a k a_k ak 替换为 S k − S k − 1 S_k-S_{k-1} SkSk1,然后合并同类项即可

注:该公式即为离散版本的分部积分公式

命题:Dirichlet判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak},{bk} S n S_n Sn 表示 { a k } \{a_k\} {ak} 的部分和,若

  1. { b k } \{b_k\} {bk} 是单调数列且 lim ⁡ k → ∞ b k = 0 \lim\limits_{k\to\infty}b_k=0 klimbk=0
  2. 存在 M M M,使得对任意 n ≥ 1 n\geq 1 n1 ∣ S n ∣ ≤ M |S_n|\leq M SnM

则级数 ∑ k = 1 a k b k \sum\limits_{k=1}^{a_kb_k} k=1akbk 收敛

证明思路(级数的Cauchy收敛准则)
不妨假设 { b k } \{b_k\} {bk} 单调递减,由 abel 求和法,任取 m ≥ n m\geq n mn,有
∣ ∑ k = n + 1 m a k b k ∣ = ∣ ( S m b m − S n b n ) + ∑ k = n m − 1 S k ( b k − b k + 1 ) ∣ ≤ M ∣ b m − b n ∣ + ∣ M ∣ ∣ ∑ k = n m − 1 ( b k − b k + 1 ) ∣ = 2 M ( b n − b m ) < ε \begin{split} |\sum\limits_{k=n+1}^ma_kb_k|&=|(S_mb_m-S_nb_n)+\sum\limits_{k=n}^{m-1}S_k(b_k-b_{k+1})|\\ &\leq M|b_m-b_n|+|M||\sum\limits_{k=n}^{m-1}(b_k-b_{k+1})|\\ &=2M(b_n-b_m)<\varepsilon \end{split} k=n+1makbk=(SmbmSnbn)+k=nm1Sk(bkbk+1)Mbmbn+M∣∣k=nm1(bkbk+1)=2M(bnbm)<ε

推论:Abel判别法
设实数列 { a k } , { b k } \{a_k\},\{b_k\} {ak},{bk},若

  1. { b k } \{b_k\} {bk} 单调有界
  2. 级数 ∑ k = 1 ∞ a k \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k k=1ak 收敛

则级数 ∑ k = 1 ∞ a k b k \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kb_k k=1akbk 收敛

证明思路
b = lim ⁡ k → ∞ b k b=\lim\limits_{k\to\infty}b_k b=klimbk,则有
∑ k = 1 ∞ a k b k = ∑ k = 1 ∞ a k ( b k − b ) + b ∑ k = 1 ∞ a k \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kb_k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k(b_k-b)+b\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k k=1akbk=k=1ak(bkb)+bk=1ak
等号右端第一个级数用Dirichlet判别法立得

参考书:

  • 《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心
  • 《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著

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