excel统计分析——协方差分析基本原理

参考资料：生物统计学

方差分析中，要求除试验因素外的其他条件保持在相同水平上才能对实验结果的差异显著性进行比较，然而有些非试验因素很难或不可能人为控制，此时如果使用方差分析法推断处理其差异显著性，往往会导致错误的结果。为解决试验条件不同对试验结果的影响，统计学上将回归分析和方差分析结合起来，通过回归关系排除试验条件对试验结果的影响，称为协方差分析（analysis of covariance，ANCOVA）。由于校正后的结果是应用统计方法将试验条件控制一致而达到的，故协方差分析的实质是一种统计控制（statistical control）。

协方差分析的基本原理如下

（1）基本思想

协方差分析是把方差分析与回归分析结合起来的一种统计分析方法，用于比较一个变量y在一个因素或几个因素不同水平上的差异，但这个变量在受试验因素影响的同时，还受到另外一个变量x的影响，而且变量x的取值难以人为控制，不能作为方差分析中的一个因素来处理。此时如果x和y之间可以建立回归关系，则可用协方差分析的方法排除x对y的影响，然后进行方差分析对各因素水平的影响作出统计推断。在协方差分析中，y对因变量（dependent variable），x为协变量（covariate）。

协方差分析的核心思想是通过对因变量y的值进行调整，消除协变量x的影响，从而能对试验因素不同水平的影响进行统计检验。为此，首先需要判断协变量x对因变量y是否存在影响，如果影响显著，则需要去除其影响后对试验结果进行检验；如果影响不显著，则直接对试验结果进行检验。

统计学上研究两个变量是否存在影响的方法为回归分析，所以进行协方差分析时首先对数据进行回归分析，如果回归关系显著，说明变量x对变量y的影响显著，需对试验结果进行校正后进行方差分析；如果回归关系不显著，说明变量x对变量y的影响不显著，可直接对试验结果进行方差分析。

（2）协方差分析的数学模型

假设试验有k个处理，观测指标y为因变量，x为协变量，每个处理设置n次重复，每组内均有n对观测值x，y，则该资料为具有kn对观测值的双变量资料。

在协方差分析中，因变量的每个观察值可用以下线性数学模型表示：

$y_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta(x_{ij}-\bar{x})+\varepsilon _{ij}$

其中：i=1,2,...,k；j=1,2,...,n；y_ij为试验因素第i水平的第j次观测值；x_ij为试验因素第i水平的第j次观测的协变量取值； $\bar{x}$ 为x_ij的总平均数；μ为y_ij的总平均数； $\alpha_i$ 为第i水平的效应；β是y对x的线性回归系数； $\varepsilon _{ij}$ 为随机误差。且满足以下基本假定：① $\varepsilon _{ij}$ 独立，且服从正态分布 $N(0,\sigma^2)$ ；②β≠0，即y与x之间存在线性关系，且水平回归系数相等，即协变量的影响不随水平的变化而变化；③处理效应之和为0，即 $\sum \alpha_i=0$ 。试验因素为固定因素；如果为随机因素，则处理效应的方差为0。