洛必达法则和分部积分的应用之计算数学期望EX--概率论浙大版填坑记

如下图所示,概率论与数理统计浙大第四版有如下例题:
简单说就是:已知两个相互独立工作电子装置寿命的概率密度函数,将二者串联成整机,求整机寿命的数学期望。

在这里插入图片描述
这个题目解答中的微积分部分可谓是相当的坑爹,根本没有任何中间计算过程,任何人直接看根本看不懂!所以说它是烂教材,根本不足为过!而国内确实有很多这种垃圾教材,写的不清不楚,误人子弟!

好了,说了这么多该进入正题了,其实这个里面的微积分计算有很大的难度和分析工作量,我下面来具体解释求解细节

  1. 首先第一,因为这两个电子装置是串联在一起的,当发生故障时:只要有一个坏了,整机就不能工作了!
    所以,整机的寿命必然取决于寿命最短的那一个,即
    整机寿命的概率分布函数 F(N) = Min(F(X1), F(X2))
    根据多维随机变量的概率分布公式(见第三章公式5.12),可得
    Fmin = 1 - [ 1- F(X) ][ 1 - F(Y) ] // 二维随机变量的情况
    而X1, X2这两个电子装置是相互独立的,而且它们的概率密度函数都是一样的
    所以可以得出:
    F ( N ) = M i n ( F ( X 1 ) , F ( X 2 ) ) = 1 − [ 1 − F ( X ) ] 2 ( 1.1 ) F(N) = Min(F(X1), F(X2)) = 1 - [1 - F(X)]^ 2 {\qquad} (1.1) F(N)=Min(F(X1),F(X2))=1[1F(X)]2(1.1)

  2. 要求出F(N),就得求出F(X)也就是电子装置的概率分布函数
    概率分布函数是概率密度函数的积分
    所以
    F(X) = ∫ 0 ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{\infty}f(x)dx 0f(x)dx = ∫ 0 ∞ 1 θ . e − x / θ d x \int_{0}^{\infty} \frac{1}{θ}.e^{-x/θ} dx 0θ1.ex/θdx
    根据基本积分公式: 在这里插入图片描述
    上式可得(因为x<0时,f(x)=0,那么它的积分也为0,故只取大于0的积分):
    F(X) = ∫ 0 ∞ 1 θ . e − x / θ d x \int_{0}^{\infty} \frac{1}{θ}.e^{-x/θ} dx 0θ1.ex/θdx = 1 θ ∫ 0 ∞ e ( − 1 θ ) . x d x \frac{1}{θ}\int_{0}^{\infty} e^{(-\frac{1}{θ}).x} dx θ10e(θ1).xdx
    = 1 θ ∗ ( − θ ) ∗ . e − x / θ = \frac{1}{θ}* (-θ) * .e^{-x/θ} =θ1(θ).ex/θ = − e − x / θ ∣ 0 ∞ -e^{-x/θ}|_{0}^{\infty} ex/θ0
    = − e − ∞ / θ − ( − e − 0 / θ ) = 1 − e − ∞ / θ = -e^{-\infty/θ} - (-e^{-0/θ}) = 1 -e^{-\infty/θ} =e∞/θ(e0/θ)=1e∞/θ
    可以看到这个积分并不是收敛的,所以只能把它变成变上限积分,于是
    F ( X ) = 1 − e − x / θ F(X) = 1 -e^{-x/θ} F(X)=1ex/θ

  3. 然后代入到前面的F(N)公式(1.1)中
    F ( N ) = 1 − [ 1 − ( 1 − e − x / θ ) ] 2 = 1 − e − 2 x / θ F(N) = 1 - [1- (1 -e^{-x/θ})]^2 = 1 - e^{-2x/θ} F(N)=1[1(1ex/θ)]2=1e2x/θ

  4. 然后对F(N)求导获得f(N) 也就是整机的概率密度函数
    f ( N ) = ( F ( N ) ) ′ = ( − 2 θ ) ( − e − 2 x / θ ) = 2 θ . e − 2 x / θ f(N) = (F(N))^{'} = (- \frac{2}{θ}) (-e^{-2x/θ}) = \frac{2}{θ} . e^{-2x/θ} f(N)=(F(N))=(θ2)(e2x/θ)=θ2.e2x/θ

  5. 然后根据连续随机变量的数学期望公式:
    E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x . f ( x ) d x E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x.f(x)dx E(X)=+x.f(x)dx
    E ( N ) = ∫ − ∞ + ∞ x . f ( N ) d x = ∫ − ∞ + ∞ x . 2 θ . e − 2 x / θ d x E(N) = \int_{-\infty}^{+\infty} x.f(N)dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x. \frac{2}{θ} . e^{-2x/θ}dx E(N)=+x.f(N)dx=+x.θ2.e2x/θdx
    = 2 θ . ( − θ 2 ) 2 . ∫ − ∞ + ∞ ( − 2 x θ ) . e − 2 x / θ d ( − 2 x θ ) = \frac{2}{θ}.(-\frac{θ}{2})^2 .\int_{-\infty}^{+\infty} (-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} d(-\frac{2x}{θ}) =θ2.(2θ)2.+(θ2x).e2x/θd(θ2x)
    = θ 2 . ∫ − ∞ + ∞ ( − 2 x θ ) . e − 2 x / θ d ( − 2 x θ ) ( 2.1 ) = \frac{θ}{2}. \int_{-\infty}^{+\infty} (-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} d(-\frac{2x}{θ}) {\qquad} (2.1) =2θ.+(θ2x).e2x/θd(θ2x)(2.1)
    根据分部积分公式:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    可以推导出:
    ∫ x . e x d x = x . e x − e x + C \int x.e^x dx = x.e^x - e^x + C x.exdx=x.exex+C 将此代入式(2.1)可得:

E ( N ) = θ 2 . [ ( − 2 x θ ) . e − 2 x / θ − e − 2 x / θ ] ∣ − ∞ + ∞ E(N) = \frac{θ}{2}.[(-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} - e^{-2x/θ} ] |_{-\infty}^{+\infty} E(N)=2θ.[(θ2x).e2x/θe2x/θ]+
但是F(N)在小于0时,积分为0,所以
E ( N ) = θ 2 . [ ( − 2 x θ ) . e − 2 x / θ − e − 2 x / θ ] ∣ 0 + ∞ = − θ 2 . e − 2 x / θ . ( 1 + 2 x θ ) ∣ 0 + ∞ E(N) = \frac{θ}{2}.[(-\frac{2x}{θ}) . e^{-2x/θ} - e^{-2x/θ} ] |_{0}^{+\infty} = -\frac{θ}{2}. e^{-2x/θ}.(1+\frac{2x}{θ})|_{0}^{+\infty} E(N)=2θ.[(θ2x).e2x/θe2x/θ]0+=2θ.e2x/θ.(1+θ2x)0+
= − θ 2 . [ lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 2 x θ e 2 x / θ ) − e 0 . ( 1 + 0 θ ) ] = -\frac{θ}{2}.[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(\frac{1+\frac{2x}{θ}}{e^{2x/θ}}) - e^0.(1+ \frac{0}{θ}) ] =2θ.[xlim(e2x/θ1+θ2x)e0.(1+θ0)]
= θ 2 . [ 1 − lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 2 x θ e 2 x / θ ) ] =\frac{θ}{2}.[ 1- \lim\limits_{x\rightarrow \infty}(\frac{1+\frac{2x}{θ}}{e^{2x/θ}}) ] =2θ.[1xlim(e2x/θ1+θ2x)]
然后运用洛必达法则求极限:
E ( N ) = θ 2 . [ 1 − lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 2 x θ ) ′ ( e 2 x / θ ) ′ ] = θ 2 . [ 1 − lim ⁡ x → ∞ 2 θ 2 θ . e 2 x / θ ] E(N) = \frac{θ}{2}.[ 1- \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{(1+\frac{2x}{θ})^{'}}{(e^{2x/θ})^{'}} ] = \frac{θ}{2}. [ 1 - \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac {\frac{2}{θ}}{\frac{2}{θ}.e^{2x/θ}} ] E(N)=2θ.[1xlim(e2x/θ)(1+θ2x)]=2θ.[1xlimθ2.e2x/θθ2]
= θ 2 . [ 1 − lim ⁡ x → ∞ 1 e 2 x / θ ] = \frac{θ}{2}. [ 1 - \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac {1}{e^{2x/θ}} ] =2θ.[1xlime2x/θ1]
很明显:在x->无穷大时, 1 e 2 x / θ \frac {1}{e^{2x/θ}} e2x/θ1的极限为0
所以,最终 E ( N ) = θ 2 E(N) = \frac{θ}{2} E(N)=2θ
即整机的数学期望 E ( N ) = θ 2 E(N) = \frac{θ}{2} E(N)=2θ
可以看到整个微积分的求解过程还是很复杂的,但是教材上却只是一带而过,让人相当无语,足见浙大概率论教材质量是非常坑爹的,需要自己仔细分析推导,才能得到正确结果。

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