动态规划算法入门

动态规划(Dynamic Programming, DP)是一种常用的算法设计技术,它通过将原问题分解为相对简单的子问题,并存储子问题的解来避免重复计算,最终获得原问题的最优解。本文将通过实例来介绍动态规划的基本原理和思路。

一、动态规划的基本思想

动态规划的基本思想是:将一个复杂的问题分解成若干个相互重叠的子问题,通过求解子问题来递推地求解原问题。动态规划算法的关键在于找到问题的最优子结构和重叠子问题。

• 最优子结构:问题的最优解包含其子问题的最优解。也就是说,可以通过子问题的最优解来构造原问题的最优解。
• 重叠子问题:在求解问题的过程中,多次遇到相同的子问题。若使用递归求解,会出现大量的重复计算。动态规划通过存储子问题的解来避免重复计算,提高效率。

二、动态规划的基本步骤

1. 确定状态:将问题分解为若干个阶段,每个阶段对应一个状态。状态通常表示为一个或多个变量,用于描述问题的当前情况。
2. 定义状态转移方程:根据问题的最优子结构,确定状态之间的转移关系,即如何从子问题的解推导出原问题的解。状态转移方程用于描述这种转移关系。
3. 设置初始状态:确定问题的边界条件,即初始状态。
4. 计算最优解:按照状态转移方程,递推地计算每个状态的最优值,直到求得原问题的最优解。

三、实例:最长上升子序列

问题描述:给定一个长度为n的数组,找出其最长的上升子序列的长度。上升子序列是指,子序列的元素单调递增,且子序列中的元素在原数组中的相对顺序与原数组一致。

例如,对于数组10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18,其最长上升子序列为2, 5, 7, 101,长度为4。

1. 确定状态:设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。
2. 定义状态转移方程:对于第i个元素,我们需要考虑前面所有小于它的元素j(0 ≤ j < i),以第j个元素结尾的最长上升子序列加上第i个元素,就构成了以第i个元素结尾的最长上升子序列。因此,状态转移方程为:
   dp[i] = max(dp[j] + 1), 其中0 ≤ j < i且nums[j] < nums[i]
3. 设置初始状态:初始时,每个元素自身构成一个长度为1的上升子序列,因此dp[i]的初始值为1。
4. 计算最优解:按照状态转移方程,递推地计算每个状态的最优值。最终,整个数组的最长上升子序列长度即为dp[i]中的最大值。

下面是C++代码实现:

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> dp(n, 1);int maxLen = 1;for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}maxLen = max(maxLen, dp[i]);}return maxLen;}
};

四、总结

动态规划是一种强大的算法设计技术,它通过将原问题分解为相对简单的子问题,并存储子问题的解来避免重复计算,最终获得原问题的最优解。掌握动态规划的基本原理和思路,对于解决许多复杂的优化问题非常有帮助。

在实际应用中,动态规划还有许多优化技巧,如状态压缩、滚动数组等,可以进一步提高算法的空间和时间效率。此外,有些问题还可以用贪心算法或其他方法来解决,需要根据具体情况选择合适的算法。

希望通过本文,读者能对动态规划有一个基本的认识,并能在实际问题中灵活运用。在算法学习的道路上,持之以恒,不断探索,相信你一定能收获满满!