矩阵计算-线性系统和 LU 分解

一、三角系统

……

二、高斯消元法

……

三、LU分解--直接三角分解法 求解线性方程Ax=b

参考视频:【数值分析】矩阵LU三角分解| 速成讲解 考试宝典_哔哩哔哩_bilibili

令A=L·U,其中L是单位下三角矩阵(对角线上元素都是1),U是上三角矩阵

无论矩阵A是多少,都有唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U,使得A可以分解为L·U。

由矩阵乘法可推出:

1.矩阵U的第一行元素等于矩阵A的第一行元素,即a1i=u1i,i=1,2……,n

2.矩阵L的第一列元素等于矩阵A的第一列元素除以u11,即li1=ai1/u11,i=1,2……,n

L是单位下三角矩阵 对角线上元素都是1,即lii=1 ,i=1,2……,n 

U是上三角矩阵。所以矩阵中的未知元素其实就不多了。

由于Ax=b即L·Ux=b

令Ly=b,Ux=y

第一步:首先根据A=L·U,可以很快推导出唯一的单位下三角矩阵L和唯一的上三角矩阵U

第二步:已知单位下三角矩阵L和向量b,根据Ly=b,很方便就求出y=(y1,y2,y3)^T

第三步:已知上三角矩阵U和向量y,根据Ux=y,很方便就求出x=(x1,x2,x3)

至此,线性方程求解完毕。

动手实操一下,就能清晰掌握了:

 第一步:根据A=L·U,推出矩阵L和U

第二步:根据Ly=b 求出y

第三步:根据Ux=求出x

向量x求解完毕。

四、部分选主元的 LU 分解

……

五、LDM 分解, 对称矩阵的 LDL 分解,正定矩阵的 Choleskey 分解

……

六、其他线性系统,如带状系统

……

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