前缀和

前缀和定义： 前缀和数组的第 $i$ 位即为原数组 $1$ ~ $i$ 位的和

原数组：    1   2   3   4   5
前缀和数组：1   3   5   9   14

我们由此可以推导出公式：$ans[i]=a[i]+ans[i-1]$

其中$ans[i-1]$即为前面($1$ ~ $i-1$)的所有数的总和，将$ans[i-1]+a[i]$ 即是原数组 $1$ ~ $i$ 位的总和

	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],ans[i]=a[i]+ans[i-1];
//其中ans[i]是前缀和数组,a[i]是原数组

前缀和例题

P8218 【深进1.例1】求区间和

题意

给定 $n$ 个正整数组成的数列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 和 $m$ 个区间 $[l_i,r_i]$，分别求这 $m$ 个区间的区间和。

对于所有测试数据，$n,m\le 10^5,a_i\le 10^4$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
long long n,m,a[maxn]={},sum[maxn]={};
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];sum[i]=sum[i-1]+a[i];//建立前缀和数组}cin>>m;for(int i=1;i<=m;i++){long long l,r;//求l~r的区间和cin>>l>>r;cout<<sum[r]-sum[l-1]<<endl;//注意是r~(l-1)}return 0;
}

差分

差分定义： 我们令 $a$ 为 $b$ 的差分数组，则 $a$ 的前缀和数组为 $b$

我们由此可以运用等式的性质，由前缀和公式推导出差分公式：$a[i]=ans[i]+ans[i-1]$

	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],ans[i]=a[i]+ans[i-1];for(int i=1;i<=n;i++) cha[i]=ans[i]-ans[i-1];
//其中ans[i]是前缀和数组,a[i]是原数组,cha[i]是差分数组

我们来举例解释一下↓：

原数组：              1   2   3   4   5
前缀和数组：          1   3   5   9   14
差分数组：            1   1   1   1   1
差分数组的前缀和数组：1   2   3   4   5

由此我们可以得知差分数组的前缀和数组即为原数组

若是将差分数组cha的cha[l]+x,cha[r+1]-x，那么原数组a的a[l]~a[r]会依次加上x

原数组：              1   2   3   4   5
前缀和数组：          1   3   5   9   14
差分数组：            1   1   1   1   1
差分数组的前缀和数组：1   2   3   4   5

我们来举例解释一下↓：

原数组：              1   2   3   4   5
前缀和数组：          1   3   5   9   14
差分数组：            1   1+2 1   1   1-2
差分数组：            1   3   1   1   -1
差分数组的前缀和数组：1   4   5   6   5
我们令x=2,l=2,r=4,
那么我们需要达到的操作是：将原数组的l~r位加上2,cha[l]+x,cha[r+1]-x之后,
cha[]的前缀和数组达成了需要达成的操作

差分例题及code↓

这道题目，真的很基础QWQ

模版例题

输入一个长度为 $n$ 的整数序列。接下来输入 $T$ 个操作，每个操作包含三个整数 $l,r,c$，表示将序列中 $[l,r]$ 之间的每个数加上 $c$

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例：

3 4 5 3 4 2

code↓

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e6+10;
int	input[maxn],cha[maxn],n,T;
int main(){cin>>n>>T;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>input[i];for(int j=1;j<=n;j++) cha[j]=input[j]-input[j-1];while(T--){int l,r,c;cin>>l>>r>>c;cha[l]=cha[l]+c,cha[r+1]=cha[r+1]-c;}int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++) sum+=cha[i],cout<<sum<<" ";return 0;
}