【数据结构与算法】(18)：树形选择排序：按照锦标赛的思想进行排序

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在选择类排序中，除了我们以往学习过的简单选择排序和堆排序之外，比较重点的还有树形选择排序，因为这种排序在面试中也偶有出现，所以这节课我们也来讲一讲。

1.1 基本概念与算法描述

树形选择排序又叫锦标赛排序（Tournament Sort），是一种按照锦标赛的思想进行选择排序的方法。属于对简单选择排序的一种改进。

我们尝试描述一下树形选择排序算法：对n个记录的关键字进行两两比较。然后在其中 ⌈ $\frac{n}{2}$ ⌉ 个较小者中再进行两两比较，如此重复，直到选出最小关键字（按从小到大排序）为止。

以数组 { 16,1,45,23,99,2,18,67,42,10 } 为例，参考图1。

图1从下向上观察，这是第一趟排序，目的是从所有数组中选出值最小的元素。我们尝试描述下具体的操作步骤。

开始两两比较，于是元素16和1比较选择1，元素45和23比较选择23，元素99和2比较选择2，18和67比较选择18，42和10比较选择10。
现在，选择出的元素1、23、2、18、10又进行两两比较，元素1和23比较选择1，元素2和18比较选择2，元素10没有比较的对象直接被选择。
现在，选择出的元素1、2、10又进行两两比较，元素1和2比较选择1，元素10没有比较的对象直接被选择。
现在，选择出的元素1、10又进行比较，选择1。最终这个1也是树形结构的树根，找个地方保存本趟排序的最小元素1。

接着，在树叶中把第一趟已经选择出的元素1标记为一个最大值 ∞（这表示元素1不可能在比较中被再次选中了），然后进行第二趟排序，如图2所示。

图2还是从下向上观察，这是第二趟排序，前面挑选出的最小值1已经找了个地方保存，这里直接把1的值修改为一个最大值∞，这样，对节点进行两两比较时，标记为最大值的节点就不可能被选中。第二趟排序需要进行什么比较呢？

开始两两比较，元素16和最大值比较，选择元素16。元素45和23、99和2、18和67、42和10就不需要再次比较（因为第一趟排序比较过了）。
现在，选择出的元素16和23比较，选择元素16。元素2和18，元素10同样因为第一趟比较过，不需要再次比较。
现在，选择出的元素16和2比较，元素10同样因为第一趟比较过，不需要再次比较。
现在，选择出的元素2、10进行比较，选择2。最终这个2也是树形结构的树根，找个地方保存本趟排序的最小元素2。

然后继续把第二趟中已经选择出的元素2标记为一个最大值，就可以开始第三趟排序，这里就不赘述了。

所以可以看到，经过一次（第一趟）的完全比较后，从第二趟开始就不再需要完全的两两比较，这样就达到了节省时间提高效率的目的，这就是树形选择排序相较于简单选择排序一个重大的改进之处。但是也应该看到，树形选择排序需要通过构造出二叉树这种树形结构来辅助排序，所以还需要辅助存储空间。

上述图1和图2意在阐述树形选择排序理论，理论上来说树形选择排序并不复杂。但若通过代码实现，则是需要构建一棵完全二叉树来实现对数据排序的。换句话说，图1和图2绘制得比较简单，很多额外的节点并没有绘制出来。

回忆一下二叉树的性质5——具有n（n>0）个节点的完全二叉树的高度为 ⌈ $log^{n+1}_{2}$ ⌉ 或者 ⌊ $log^{n+1}_{2}$ ⌋ +1。同时，你也需要知道，含有n个叶子节点的完全二叉树的高度是 ⌈ $log^{n+1}_{2}$ ⌉ +1。以这个理论为指导（为了能够正确编写出代码），绘制一下更详细的树形选择排序示意图。依旧以数组 { 16,1,45,23,99,2,18,67,42,10 } 举例来解释树形选择排序。

把该数组中的所有元素都看成是完全二叉树的叶子，根据“含有n个叶子节点的完全二叉树的高度是 ⌈ $log^{n}_{2}$ ⌉ +1”，树形选择排序所要创建的这棵完全二叉树高度应该是5。
第一趟，两两比较，找到最小值保存到根节点中，如图3所示。

接着，沿着根节点向叶子节点找，找到了最小值1所在的叶子节点，把该叶子节点的值从原来保存的1修改为最大值 ∞，如图4所示。

接着要开始第二趟比较了，第二趟比较时叶子节点之间不再需要两两比较，只需要16和∞作比较，此时当然是16更小，于是，沿着这个比较路线再前进到树根，就能把当前树中的最小节点找到并保存到根中。如图5所示。

接着，沿着根节点向叶子节点找，找到了最小值2所在的叶子节点，把该叶子节点的值从原来保存的2修改为最大值 ∞，如图6所示。

持续上述步骤，就可以把整个数据序列按从小到大的顺序排列好。

1.2 实现代码

下面我给出树形选择排序的实现代码。

#define INT_MAX_MY 2147483647//整型能够保存的最大数值，作为标记使用
//树形选择排序（从小到大）
template<typename T>
void TreeSelSort(T myarray[], int length)
{//ceil是系统函数：ceil(x)函数返回的是大于或等于x的最小整数int treelvl = (int)ceil(log(length) / log(2)) + 1; //5:完全二叉树高度(含有n个叶子节点的完全二叉树的高度是⌈logn⌉ +1)//treelvl高的完全二叉树最多有nodecount个节点，如果有nodecount个节点，此时的完全二叉树其实是满二叉树int nodecount = (int)pow(2, treelvl) - 1; //31：满二叉树是指一棵高度为h，且含有2h-1个节点的二叉树//treelvl-1 高的完全二叉树最多有nodecount2个节点int nodecount2 = (int)pow(2, treelvl - 1) - 1; //15int* pidx = new int[nodecount];//保存节点的下标用的内存//叶子节点保存元素的下标值（就等于保存了元素的值）for (int i = 0; i < length; ++i){pidx[nodecount2 + i] = i; //pidx[15] = 0; pidx[16] = 1....;pidx[24] = 9} //end for//给多余的叶子节点赋予一个最大值作为标记for (int i = nodecount2 + length; i < nodecount; ++i) //i=25~30{pidx[i] = INT_MAX_MY;  //pidx[25] = MAX;pidx[26] = MAX; ......pidx[30] = MAX}int tmpnode2 = nodecount2;  //15int tmpnode = nodecount;    //31//现在要开始给非叶子节点赋值了,非叶子节点下标是[0]~[14]//第一趟排序要给非叶子节点赋值，还要两两进行节点比较，所以要单独处理while (tmpnode2 != 0){//第一次for执行i值分别为：15、17、19、21、23、25、27、29//第二次for执行i值分别为：7,9,11,13//第三次for执行i值分别为：3,5//第四次for执行i值分别为：1for (int i = tmpnode2; i < tmpnode; i += 2){//第一次for这个pidx的下标【(i + 1) / 2 - 1】分别是7,8,9,10,11,12,13,14//第二次for这个pidx的下标【(i + 1) / 2 - 1】分别是3,4,5,6//第三次for这个pidx的下标【(i + 1) / 2 - 1】分别是1,2//第四次for这个pidx的下标【(i + 1) / 2 - 1】分别是0//把两个孩子中小的孩子值给爹if (pidx[i] != INT_MAX_MY && pidx[i + 1] != INT_MAX_MY)  //如果pidx[i]和pidx[i+1]都是正常值，那自然是可以比较{if (myarray[pidx[i]] <= myarray[pidx[i + 1]]){pidx[(i + 1) / 2 - 1] = pidx[i];}else{pidx[(i + 1) / 2 - 1] = pidx[i + 1];}}else if( pidx[i] != INT_MAX_MY) //pidx[i]是正常值，因为有上个if在，说明pidx[i + 1]不是正常值{pidx[(i + 1) / 2 - 1] = pidx[i];}else //走到这里，说明pidx[i + 1]是正常值或者是INT_MAX_MY值{pidx[(i + 1) / 2 - 1] = pidx[i + 1];}} //end fortmpnode = tmpnode2;  //15,7,3,1tmpnode2 = (tmpnode2 - 1) / 2; //7,3,1,0} //end whileT* ptmparray = new T[length]; //临时保存排好序的数据for (int i = 0; i < length; i++){ptmparray[i] =  myarray[pidx[0]]; //将当前最小值赋给ptmparray[i]临时保存int leafidx = 0;//沿树根找最小值结点在叶子中的序号//leafidx = 0,1,3,7,16分别追溯到叶子中的编号for (int j = 1; j < treelvl; j++){if (pidx[2 * leafidx + 1] == pidx[leafidx]){leafidx = 2 * leafidx + 1;}else{leafidx = 2 * leafidx + 2;}} //end for j//此时的leafidx就是完全二叉树叶子节点中的那个最小值的下标pidx[leafidx] = INT_MAX_MY; //leafidx = 16。while (leafidx){//leafidx = 7,3,1,0leafidx = (leafidx + 1)/2 - 1;//序号为leafidx的结点的双亲结点序号if (pidx[2 * leafidx + 1] != INT_MAX_MY && pidx[2 * leafidx + 2] != INT_MAX_MY)  //如果pidx[i]和pidx[i+1]都是正常值，那自然是可以比较{if (myarray[ pidx[2 * leafidx + 1]] <= myarray[pidx[2 * leafidx + 2]]){pidx[leafidx] = pidx[2 * leafidx + 1];}else{pidx[leafidx] = pidx[2 * leafidx + 2];}}else if (pidx[2 * leafidx + 1] != INT_MAX_MY){pidx[leafidx] = pidx[2 * leafidx + 1];}else{pidx[leafidx] = pidx[2 * leafidx + 2];}}//end while} //end for i//把数据从ptmparray拷贝回myarrayfor (int i = 0; i < length; i++){myarray[i] = ptmparray[i];} //end for i//释放内存delete[] ptmparray;delete[] pidx;return;
}

在main主函数中，加入测试代码。

int arr[] = {16,1,45,23,99,2,18,67,42,10};
int length = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);   //数组中元素个数
TreeSelSort(arr, length);//对数组元素进行树形选择排序
cout <<"树形选择排序结果为：";
for (int i = 0; i < length; ++i)
{cout << arr[i] <<"";
}
cout << endl; //换行

代码的执行结果如下：

树形选择排序算法因为含有n个叶子节点的完全二叉树的高度是 ⌈ $log^{n}_{2}$ ⌉ +1，除了最小关键字外，每次选择其他最小关键字只需要 ⌈ $log^{n}_{2}$ ⌉ 次比较，因为还有 n-1 个关键字需要进行这个次数的比较，所以可以认为该算法的时间复杂度是 O( $nlog^{n}_{2}$ )。

对于算法的空间复杂度，在上述实现代码中，是需要一些辅助空间帮忙实现排序的（空间换时间），比如存储完全二叉树节点，还可能需要存储其他一些数据比如临时的排好序的数据。当然，也可以用其他办法，而不是必须用临时空间保存排好序的数据，不过总体来看，树形选择排序的空间复杂度为O( $n$ )。

此外，经过我测试，认为上述算法的实现代码是稳定的。如果你稍微调整一下其实现代码，改为不稳定的也很容易。

1.3 小结

这节课我们一起学习了选择类排序中的树形选择排序。树形选择排序是一种按照锦标赛的思想进行选择排序的方法，属于对简单选择排序的一种改进。它会通过多趟排序来对 n 个记录的关键字进行两两比较，然后在其中 ⌈ $\frac{n}{2}$ ⌉ 个较小者中再进行两两比较，如此重复，直到选出最小关键字（按从小到大排序）为止。

树形选择排序的每一趟排序都会减少需要两两比较的元素数量，从而达到了节省时间提高效率的目的，这就是树形选择排序相较于简单选择排序一个重大的改进之处。但是我们也应该看到，树形选择排序需要通过构造出二叉树这种树形结构来辅助排序，所以还需要辅助存储空间。

这篇文章我们也详细解释了树形选择排序的概念，通过多个示意图对该排序的算法进行了详尽的描述，也为你提供了完整的实现代码。最后强调一个细节，树形选择排序算法的时间复杂度是 O( $nlog^{n}_{2}$ )，空间复杂度为 O( $n$ )，算法是稳定的。