Java最后一块石头的重量 II(力扣Leetcod1049)

最后一块石头的重量 II

力扣原题
有一堆石头,用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

  • 如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎;
  • 如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后,最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下,就返回 0。

示例 1:

输入:stones = [2,7,4,1,8,1]
输出:1
解释:
组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

示例 2:

输入:stones = [31,26,33,21,40]
输出:5

提示:

1 <= stones.length <= 30
1 <= stones[i] <= 100

思路分析 (解决背包最多装多少,这道题体现在尽可能接近一半)

给定一堆石头的重量,每次可以选择两块石头,将它们粉碎。如果两块石头的重量相同,则两块石头都会被粉碎;如果两块石头的重量不同,则较重的石头会变为重量差,而较轻的石头会被粉碎。最终,只会剩下一块石头,要求返回此石头的最小可能重量。如果没有石头剩下,则返回 0。
思考:最后是返回最小可能,那是不是可以考虑成把石头尽可能相等的分成两堆,然后两堆各之和相减不就是最后的最小重量了嘛。

  • 这个问题可以转化为 01 背包问题。我们可以将每块石头的重量视为物品的重量,而要求的最小可能重量则是背包能装下的最大重量。
  • 需要注意的是,因为石头最终只剩下一块,所以我们要尽可能地使得剩余石头的重量接近总重量的一半,这样最后的结果就会最小。

状态定义

定义一个一维的动态规划数组 dp,其中 dp[j] 表示背包容量为 j 时,所能达到的最大石头重量。

状态转移方程

我们需要考虑当前石头是否放入背包中的两种情况:

  • 如果不放入当前石头 stones[i - 1],则 dp[j] 保持不变,即 dp[j] = dp[j]
  • 如果放入当前石头 stones[i - 1],则 dp[j] = dp[j - stones[i - 1]] + stones[i - 1],表示背包容量为 j - stones[i - 1] 时的最大重量加上当前石头的重量。

综合以上两种情况,状态转移方程为:

dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i - 1]] + stones[i - 1])

初始化

我们需要对动态规划数组进行初始化,当没有石头或背包容量为0时。
在这里插入图片描述

解题步骤

  1. 首先计算出所有石头的总重量 sum
  2. 初始化背包容量为总重量的一半,即 target = sum / 2
  3. 使用动态规划来求解背包问题。定义一个一维数组 dp,其中 dp[j] 表示当背包容量为 j 时能够装下的最大重量。
  4. 对于每块石头,遍历背包容量从 target 到石头重量之间的所有可能取值,更新 dp[j]Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
  5. 最终返回剩余石头重量和背包能装下的重量之差的绝对值,即 Math.abs(sum - 2 * dp[target])

Java 实现

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int sum = 0;for (int stone : stones) {sum += stone;}int target = sum / 2;int[] dp = new int[target + 1];for (int i = 0; i < stones.length; i++) {//遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {//遍历背包 !注意倒序!dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);//背包价值最大化的递推公式}}return Math.abs(sum - 2 * dp[target]);}
}

通过以上步骤,我们可以解决这个石头重量最小化的问题,使得剩余石头的重量尽可能接近总重量的一半。

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