java零钱兑换 II（力扣Leetcode518）

零钱兑换 II

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问题描述

给定一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1

分析

这是一个典型的动态规划问题。我们需要计算可以凑成总金额的硬币组合数。可以将问题转化为两部分：背包容量为总金额amount ，物品为数组 coins 。

思考：我们是每次可以放入多个物品的背包问题，所以这是一个完全背包问题

因此，我们可以定义一个动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示总金额为 i 时的组合数。

状态定义

定义一个一维动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示总金额为 i 时的组合数。

状态转移方程（统计组成的种数）

对于每一个硬币 coins[j]，我们有两种选择：使用该硬币或者不使用该硬币（抽象为选和不选）。因此状态转移方程为：

dp[i] += dp[i - coins[j]];

初始化

我们需要对动态规划数组进行初始化。初始时，总金额为 0 的组合数有 1 种方法，其余为 0。

遍历顺序

注意：这里要求的是组合数，即2+2+1和1+2+2和2+1+2都视为一种组合（即不考虑顺序），那么需要先遍历物品，再遍历背包，这样求得就是物品的组合数了

理解：

先遍历物品的话，就先拿着物品1，再遍历每一个背包容量，再拿物品2，再遍历每一个背包容量，那么背包中就只会出现（1，2）这样的组合；不会把（2，1）重复算成一种情况。
如果先遍历背包的话，就先拿着背包1，再遍历每一个物品（物品1，物品2…)，再拿背包2，再遍历物品（物品1，物品2…)，那么背包中就只会出现（1，2，1，2…),那么对于（1，2）来说，就会出现（1，2）和（2，1）都各自算成一种情况了。

Java解题

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {// 创建一个动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示总金额为 i 时的组合数int[] dp = new int[amount + 1];// 初始时，总金额为 0 的组合数有 1 种方法dp[0] = 1;//写法一：for(int i = 0 ; i < coins.length; i ++){// 先遍历物品for(int j = coins[i]; j <= amount; j ++){// 在遍历背包（求物品的组合数dp [j]  += dp[j-coins[i]]; // 注意这里dp数组的含义，[这里是背包容量的遍历下标]}}//写法二：// 遍历硬币数组 coinsfor (int coin : coins) {// 遍历金额从硬币面额到 amountfor (int i = coin; i <= amount; i++) {// 更新动态规划数组dp[i] += dp[i - coin]; // 注意这里dp数组的含义，[这里是背包容量的遍历下标]}}// 返回总金额为 amount 时的组合数return dp[amount];}
}