数据结构/C++：红黑树

数据结构/C++：红黑树

    • 概念
    • 实现
      • 基本结构
      • 插入
        • uncle为红色节点
        • uncle为黑色节点
    • 总代码展示

概念

红黑树是一种二叉搜索树，一般的二叉搜索会发生不平衡现象，导致搜索效率下降，于是学者们开始探索如何让二叉搜索树保持平衡，这种树叫做自平衡二叉搜索树。起初学者发明了AVL树，其通过一定算法保持了二叉搜索树的严格平衡，不久后Rudolf Bayer发明了红黑树，红黑树的平衡是较为宽泛的，为了保持平衡，红黑树付出的代价比AVL树更小。因此红黑树被更为广泛的使用，比如Java，C++，python中，使用的自平衡二叉搜索树都是红黑树，而不是AVL树。

如果想了解AVL树，可以看这篇博客：[数据结构/C++：AVL树]

红黑树的要求如下：

红黑树中，最长路径的长度不会超过最短路径的两倍

先解释一下路径的概念：从根走到nullptr。
有不少人认为路径是从根走到叶子节点，这是不正确的。

红黑树用了五条规则来限制一棵树，从而达到以上要求：

  1. 每个节点不是红色就是黑色
  2. 根节点一定是黑色
  3. 不可以出现连续的红色节点（黑色可以连续出现）
  4. 每一条路径都包含相同数目的黑色节点
  5. nullptr视为黑色节点

只要满足以上五个条件，那么这棵树就是一颗红黑树，而且满足最长路径的长度不会超过最短路径的两倍。为什么呢？

五条规则中，我标红了3，4两条规则：

  1. 不可以出现连续的红色节点（黑色可以连续出现）
  2. 每一条路径都包含相同数目的黑色节点

由于每一条路径都必须包含相同数目的黑色节点，现在我们假设一棵红黑树，所有路径的黑色节点数目都是x，那么最短的路径长度就是全为黑色节点，长度为x。
如果想让一条路径变长，那么就只能插入更多的红色节点（因为黑色节点数目相同），但是红色节点又不能连续出现，所以只能是黑红黑红黑红黑红黑红......这样排列，一个黑节点匹配一个红节点，因此最长路径的长度就是黑色节点的两倍2x。
可以发现，红黑树通过这两条核心规则，保证了二叉搜索树的平衡。

比如以下就是一颗红黑树：
在这里插入图片描述

其最短路径为最左侧的路径，长度为2，即两个黑节点。
其最长路径为最右侧的路径，长度为4，即一红一黑排列。

要注意的是：不是所有的红黑树都会出现以上的全黑路径，或者一红一黑路径的，这只是极端情况。

接下来我们通过实现红黑树，来了解红黑树是如何自平衡的：

实现

基本结构

首先我们要在节点中加入一个成员来表示节点的颜色，颜色有红黑和黑色两种状态，这里我使用枚举来区分两者：

enum Colour
{RED,BLACK
};

在某些红黑树的实现中，使用bool值来表示红黑颜色，这也是可以的，但是本博客以枚举来表示颜色。

节点类：

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode* _left;RBTreeNode* _right;RBTreeNode* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;
};

_left：左子树
_right：右子树
_parent：父节点
_kv：节点存储的值
_col：该节点的颜色

节点类还需要一个构造函数进行初始化，现在的问题就是：新的节点要初始化为什么颜色？
先来考虑一下：插入红色节点和插入黑色节点，谁对红黑树影响大？
对于一棵红黑树，其所有路径的黑色节点数目都相同，如果我们在某一条路径末尾插入了黑色节点，那么整棵树的所有其它路径都会少一个黑节点。而插入红色节点只影响当前路径，所以新节点应该是红色节点。

构造函数：

RBTreeNode(const pair<K, V>& kv): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED)//初始化为红节点
{}

接着就是红黑树本体，类中只存储一个根节点_root：

template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
private:Node* _root = nullptr;
}

现在我们有了红黑树的基本结构，接下来就实现它的插入操作：

插入

那么我们先写出当基本的二叉搜索树的插入代码逻辑，既然要插入，那么就要先找到合适的位置插入，代码如下：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//保持根为黑节点}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;//调整红黑树//......//......//......return true;
}

接下来，我先解析以上代码的逻辑：

if (_root == nullptr)
{_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//保持根为黑节点
}

如果我们插入节点时，根节点_root为空，说明当前整棵树都为空，那么我们直接插入值作为根节点即可，但是根节点必须是黑色节点，而我们新插入的节点是红色，所以要将其调整为黑色节点。

while (cur)
{if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}
}

以上代码，是在找到合适的插入位置，当key大于当前节点cur->_kv.first < kv.first，那么cur就向左寻找，反之向右寻找。如果当前节点值等于key，那么说明该节点已经存在，返回false代表插入失败。当我们的cur为空指针，说明已经找到了插入的节点，此时跳出循环进行插入。

cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;
elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;

到达此处，说明前面已经找到插入的位置了，而parent节点就是插入位置的父亲节点。根据key的大小，来判断插入到左边还是右边，插入完成后，再让新节点的_parent指向parent。

至此我们就完成了插入操作，接下来就要根据不同情况对红黑树进行调整。

对于红黑树的插入，我们需要关注新节点的父亲parent，祖父grandfather，叔叔uncle三个节点：
在这里插入图片描述

  1. 先根据父亲节点的颜色，来判断是否需要调整

父亲节点为黑色：
在这里插入图片描述
新插入的节点默认为红色，所以新插入节点不会影响路径上黑色节点的数目，而parent是黑节点，我们也没有出现连续的红色节点，所以这种情况无需任何调整，直接插入就可以。

父亲节点为红色：
在这里插入图片描述
如果父亲节点为红色，我们就会出现连续的红色节点，这时我们就需要进行调整了

以上两种情况总结为：

当parent为黑色，直接插入
当parent为红色，插入后需要进行调整

当parent为红色，我们就需要再根据uncle的颜色，将插入分类两类：uncle为红色以及uncle为黑色。
在这里插入图片描述
值得注意的是：由于parent是红色节点，此时的grandfather一定是黑色节点，因为不能出现连续红色节点
这两种情况的操作不同，我们先看到uncle为红色的情况：

uncle为红色节点

当uncle节点为红色，此时需要进行变色

变色如下：
在这里插入图片描述

由于新插入了红色的cur节点，此时parent与cur出现了连续的红色节点，于是我们将parent改为黑色。但是此时以parent为根的所有路径就会多出一个黑节点，于是把grandfather变为红色，来抵消这个新增的黑节点。但是此时以uncle为根的路径又会少一个黑节点，于是把uncle变黑。

但是我们将grandfather变为了红色，这有可能会影响到上一层节点，比如这样：
在这里插入图片描述
我们把grandfather变红之后，又出现了两个红色节点相连的情况，所以我们要写一个while循环，来反复向上检查。

当前代码如下：

while (parent && parent->_col == RED)//只有parent为红，才更新 (parent可能不存在)
{Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//uncle存在且为红节点if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//uncle为黑节点 {//其它处理}}else{Node* uncle = grandfather->_left;//uncle存在且为红节点if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//uncle为黑节点 {//其它处理}}
}_root->_col = BLACK;//在循环内部不判断root情况，统一处理

代码解析：

while (parent && parent->_col == RED)

该代码用于检测cur的parent的颜色，通过我们前面的推导，如果parent为红色才需要调整，因此进入循环的条件之一是parent为红色。另外的parent有可能为nullptr，此时我们要避免访问空指针，所以空指针也不能进循环

if (parent == grandfather->_left)
{  }
else
{ }

这一段代码是在检测parent 节点是grandfather的左子树还是右子树，这将涉及到我们如何找uncle以及下一种情况的调整，此时我们要分类讨论。当parent == grandfather->_left成立，那么uncle就是grandfather的右子树：Node* uncle = grandfather->_right;，反之就是左子树

if (uncle && uncle->_col == RED)
{parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;
}

我们找到uncle后，如果uncle是红色，那么直接进行变色操作，把parent和uncle的颜色变为黑色，grandfather变为红色。
随后由于我们的变色操作可能会影响上一层，此时调整节点，进入下一次while循环

在整个while循环外侧，还有一句代码：

_root->_col = BLACK;

这是因为我们在先前的while循环中，有可能出现对_root节点的操作，导致_root的颜色改变，而_root需要保持黑色。如果我们在循环内部，每一次都检测_root有点麻烦了，于是我们直接在每一次调整完节点后，把_root强行矫正为黑色

至此我们就讨论完了uncle为红色节点的情况，接下来我们就讨论uncle为黑色节点：

uncle为黑色节点

由于红黑树中，nullptr也算作黑色节点，所以uncle为黑色分为以下两种情况：

  1. uncle为空指针
  2. uncle不为空指针

图示如下：
在这里插入图片描述

如果 uncle为空指针，那么cur一定是新插入的节点。

因为如果cur不是新插入的节点，那么cur和parent一定有一个原先是黑色节点，不然会出现连续的红色节点。但是如果cur和parent有一个是黑色节点，那么grandfather的左子树就比右子树多出一个黑节点，这就违背了红黑树规则。无论怎样，原先的树都不可能符合规则，所以cur一定是新插入的节点，破坏了规则。

如果 uncle不为空指针，那么cur一定是从黑色节点变成的红色节点（不是新插入的）。

因为如果uncle存在，那么grandfather的右子树就存在一个黑节点，而parent是红节点，所以cur和parent的右子树中都至少有一个黑节点，才能保证每一条路径黑节点数目相同。因此cur原先一定是黑节点，是因为cur下层插入了新节点，然后通过while循环向上走，影响到了当前层。

对于这种uncle为黑色的情况，我们需要通过旋转+变色来维持红黑树。

旋转又分为单旋和双旋：

当cur与parent的关系和parent与grandfather的关系一致时，需要进行单旋

比如我们刚刚的情况：
在这里插入图片描述
cur是parent的左子树，parent是grandfather的左子树，关系一致。
我们需要对其进行右单旋+变色：
在这里插入图片描述
这个旋转的算法在此我就不过多讲解了，可以去AVL树的博客中了解。我重点讲解一下变色和旋转的合理性：

一次插入过程中，走到这一步，说明前面一定经过了uncle为红色的情况，而对uncle为红色的情况进行变色并不会对任何路径的黑色节点数目造成影响，因此目前还是符合黑色节点数目相同规则的。
同为parent的子树，以cur和C为根的路径，黑节点数目相同
同为grandfather的子树，以parent和uncle为根的路径黑节点数目相同
而parent是红色节点，所以cur，C以及uncle为根的路径，黑节点数目都相同

进行单旋，会把c树交给grandfather做子树，而c与uncle为根的路径黑节点数目相同，不违背规则（旋转的合理性）

旋转后，parent作新根，grandfather与cur作为左右子树grandfather为根的路径，整体上就会比以cur为根的路径多出一个黑节点(即grandfather本身)
因此，将grandfather改为红节点，来平衡parent左右子树的黑节点
而红色节点不能连续出现，再把parent改为黑节点

当cur与parent的关系和parent与grandfather的关系不一致时，需要进行双旋

在这里插入图片描述
以上结构中，cur是parent的左子树，parent是grandfather的右子树，关系不一致，要进行双旋。
同样的，讲解一下变色和旋转的合理性：

一次插入过程中，走到这一步，说明前面一定经过了uncle为红色的情况，而对uncle为红色的情况进行变色并不会对任何路径的黑色节点数目造成影响，因此目前还是符合黑色节点数目相同规则的。
同为parent的子树，以cur和A为根的路径，黑节点数目相同
同为cur的子树，以B和C为根的路径，黑节点数目相同
由于cur是红节点，所以以A，B，C为根的路径，黑节点数目相同
相同的手段，由于parent是红节点，所以A与uncle为根的路径的黑节点数目相同
因此A，B，C，uncle为根的路径，黑节点数目都相同

进行双旋，会把C子树交给grandfather做子树，而C与uncle黑节点数目相同，不违背规则也会把B交给parent做子树
A与B黑节点数目相同，不违背规则
旋转后，cur作新根，grandfather与parent作为左右子树grandfather为根的路径，整体上就会比以parent为根的路径多出一个黑节点(grandfather本身)
因此，将grandfather改为红节点，来平衡cur左右子树的黑节点而红色节点不能连续出现，再把cur改为黑节点

以上单旋和双旋的变色，看似复杂，其实最后都是把新根的颜色变为黑色，新根的左右子树变为红色。由于我们旋转后，新根都是黑节点，所以不会影响上层，可以直接跳出循环。

代码如下：

当parent == grandfather->_left：

else//uncle为黑节点 (旋转)
{if (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);//右单旋parent->_col = BLACK;//变色grandfather->_col = RED;//变色}else{RotateL(parent);//左右双旋 - 左单旋RotateR(grandfather);//左右双旋 - 右单旋cur->_col = BLACK;//变色grandfather->_col = RED;//变色}break;//旋转后一定平衡
}

当parent == grandfather->_right：

else//uncle为黑节点 (旋转)
{if (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);//左单旋parent->_col = BLACK;//变色grandfather->_col = RED;//变色}else{RotateR(parent);//右左双旋 - 右单旋RotateL(grandfather);//右左双旋 - 左单旋cur->_col = BLACK;//变色grandfather->_col = RED;//变色}break;//旋转后一定平衡
}

insert总代码：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//保持根为黑节点}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED)//只有parent为红，才更新 (parent可能不存在){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//uncle存在且为红节点if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//uncle不存在或为黑节点 (旋转){if (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;//旋转后一定平衡}}else{Node* uncle = grandfather->_left;//uncle存在且为红节点if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//uncle不存在或为黑节点 (旋转){if (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;//旋转后一定平衡}}}_root->_col = BLACK;//在循环内部不判断root情况，统一处理return true;
}

总代码展示

红黑树总代码：
RBTree.h：

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
using namespace std;enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode* _left;RBTreeNode* _right;RBTreeNode* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;//保持根为黑节点}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED)//只有parent为红，才更新 (parent可能不存在){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//uncle存在且为红节点if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//uncle不存在或为黑节点 (旋转){if (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;//旋转后一定平衡}}else{Node* uncle = grandfather->_left;//uncle存在且为红节点if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else//uncle不存在或为黑节点 (旋转){if (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;//旋转后一定平衡}}}_root->_col = BLACK;//在循环内部不判断root情况，统一处理return true;}//左单旋void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}}//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}}size_t Size(){return _Size(_root);}size_t _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}//中序void InOrder(){_InOrder(_root);cout << "end" << endl;}int Height(){return _Height(_root);}private://中序void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " - ";_InOrder(root->_right);}//求高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;}Node* _root = nullptr;
};

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：http://www.mzph.cn/news/760950.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

Agent驱动的RPA——实在Agent（智能体）：自动化时代的新引擎

Agent驱动的RPA——实在Agent（智能体）：自动化时代的新引擎

随着人工智能和机器学习技术的快速发展&#xff0c;智能Agent在 RPA领域扮演了革命性的角色。 Agent驱动的RPA不仅实现了传统规则导向自动化工具的功能升级&#xff0c;而且通过引入自主、智能决策与协作能力&#xff0c;为现代企业带来了更高程度的灵活性与智能化水平。随着数…
阅读更多...
【python】(03)初识生成器Generator

【python】(03)初识生成器Generator

系列文章回顾 【python】(01)初识装饰器Decorator 【python】(02)初识迭代器Iterator 【python】(03)初识生成器Generator 文章目录 一.生成器的定义二.生成器的作用三.实际代码示例四.常见问题生成器在 Python 中是非常强大和灵活的工具，可以帮助我们高效地处理大型数据集合或…
阅读更多...
C. Lexicographically Largest - 思维

C. Lexicographically Largest - 思维

题面 分析 如果没有相同的数那么一定是从最后一个开始向前一个个放入集合&#xff0c;这样不会损失&#xff0c;一旦有相同的&#xff0c;从右向左依次放入&#xff0c;那么一旦遇到集合里已经有的元素&#xff0c;此时最优策略就是将当前这个数减一再放进去&#xff0c;那么…
阅读更多...
tensorflow中显存分配

tensorflow中显存分配

tensorflow中显存分配 问题&#xff1a;使用tensorflow-gpu训练模型&#xff0c;GPU的显存都是占满的。 # GPU 1的显存将占满 os.environ["CUDA_VISIBLE_DEVICES"] "1" 原因&#xff1a;默认情况下&#xff0c;tensorflow会把可用的显存全部占光&#…
阅读更多...
第1章 计算机系统概述

第1章 计算机系统概述

王道学习 1.1 操作系统的基本概念 1.1.1 操作系统的概念 1.1.2 操作系统的特征 操作系统是一种系统软件&#xff0c;但与其他系统软件和应用软件有很大的不同&#xff0c;它有自己的特殊性即基本特征。操作系统的基本特征包括并发、共享、虚拟和异步。这些概念对理解和掌握…
阅读更多...
网站打开慢有哪些原因造成的?该如何优化

网站打开慢有哪些原因造成的?该如何优化

网站打开慢可能有多种原因造成&#xff0c;以下是一些常见的导致网站打开慢的原因以及对应的优化方法&#xff1a; 服务器性能不足&#xff1a; 优化方法&#xff1a; 升级服务器配置、使用CDN加速、优化服务器软件和设置、减少服务器负载等。 大量图片和多媒体文件&#xff1…
阅读更多...
python中的面向对象特性

python中的面向对象特性

面向对象编程&#xff08;Object-Oriented Programming&#xff0c;简称OOP&#xff09;是一种编程范式&#xff0c;它使用“对象”来设计软件。面向对象编程的主要特性包括封装、继承、多态性和抽象。这些特性使得OOP特别适合处理大型、复杂的软件系统。 特性 1. 封装&#…
阅读更多...
kail linux破解密码--- 详细过程(配合图文让你看了就会)

kail linux破解密码--- 详细过程(配合图文让你看了就会)

1.准备工作 1.vmware虚拟机 2.kali的系统 3.无线网卡一张(这个是必须的我买的是30多块) 4.这里为了实验&#xff0c;和直观的看到效果&#xff0c;用手机开了一个wifi然后使用kali进行破解 2.下载kali然后安装到虚拟机vmware 直接在官网下载 Get Kali | Kali Linux 我选…
阅读更多...
WebXR实践——利用aframe框架浏览器展示全景图片

WebXR实践——利用aframe框架浏览器展示全景图片

一、效果 话不多说&#xff0c;先上效果 二、代码 index.html <!DOCTYPE html> <html><head><meta charset"utf-8"><title>360&deg; Image</title><meta name"description" content"360&deg; Imag…
阅读更多...
面试算法-64-零钱兑换

面试算法-64-零钱兑换

题目 给你一个整数数组 coins &#xff0c;表示不同面额的硬币&#xff1b;以及一个整数 amount &#xff0c;表示总金额。 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额&#xff0c;返回 -1 。 你可以认为每种硬币的数量是无限的…
阅读更多...
【机器学习】深入解析线性回归模型

【机器学习】深入解析线性回归模型

&#x1f388;个人主页&#xff1a;豌豆射手^ &#x1f389;欢迎 &#x1f44d;点赞✍评论⭐收藏 &#x1f917;收录专栏&#xff1a;机器学习 &#x1f91d;希望本文对您有所裨益&#xff0c;如有不足之处&#xff0c;欢迎在评论区提出指正&#xff0c;让我们共同学习、交流进…
阅读更多...
高精度铸铁平台制造工艺有多精细——河北北重机械

高精度铸铁平台制造工艺有多精细——河北北重机械

高精度铸铁平台制造工艺通常包括以下几个步骤&#xff1a; 材料准备&#xff1a;选择合适的铸铁材料&#xff0c;并确保其质量符合要求。常用的铸铁材料包括灰铸铁、球墨铸铁等。 模具制造&#xff1a;根据平台的设计要求&#xff0c;制造适用的模具。模具一般由砂型、金属模具…
阅读更多...
【python】flask基于cookie和session来实现会话控制

【python】flask基于cookie和session来实现会话控制

✨✨ 欢迎大家来到景天科技苑✨✨ &#x1f388;&#x1f388; 养成好习惯&#xff0c;先赞后看哦~&#x1f388;&#x1f388; &#x1f3c6; 作者简介&#xff1a;景天科技苑 &#x1f3c6;《头衔》&#xff1a;大厂架构师&#xff0c;华为云开发者社区专家博主&#xff0c;…
阅读更多...
js数组去重常见方法

js数组去重常见方法

简单数组 1、使用filter()方法&#xff1a;通过filter()方法遍历数组&#xff0c;返回仅包含首次出现的元素的新数组。 const arr [1, 2, 3, 4, 2, 3, 5]; const list arr.filter((item, index) > arr.indexOf(item) index); console.log(list); // [1, 2, 3, 4, 5]2、…
阅读更多...
【开源-土拨鼠充电系统】鸿蒙 HarmonyOS 4.0 App+微信小程序+云平台

【开源-土拨鼠充电系统】鸿蒙 HarmonyOS 4.0 App+微信小程序+云平台

✨本人自己开发的开源项目&#xff1a;土拨鼠充电系统 ✨踩坑不易&#xff0c;还希望各位大佬支持一下&#xff0c;在Gitee或GitHub给我点个 Start ⭐⭐&#x1f44d;&#x1f44d; ✍Gitee开源项目地址&#x1f449;&#xff1a;https://gitee.com/cheinlu/groundhog-charging…
阅读更多...
力扣Lc19--- 268. 丢失的数字(java版）-2024年3月20日

力扣Lc19--- 268. 丢失的数字(java版）-2024年3月20日

1.题目描述 2.知识点 &#xff08;1&#xff09;比如数组里面有n个数&#xff0c;然后计算这n个数的总和(用等差求和数列计算&#xff09;,然后减去数组的和&#xff0c;用总和减去数组和即为所得 &#xff08;2&#xff09;加强型 for 循环&#xff08;也称为 for-each 循环&…
阅读更多...
spring boot切面execution表达式添加多个包路径

spring boot切面execution表达式添加多个包路径

问题描述 在Spring Boot中&#xff0c;如果你想为多个包中的方法创建一个切面&#xff0c;你可以在Pointcut注解中使用||操作符来指定多个包。 解决方案&#xff1a; // 定义切入点为两个包中的任意方法 Pointcut("execution(* com.example.package1..*.*(..)) || execu…
阅读更多...
Leetcode 459：重复的子字符串

Leetcode 459：重复的子字符串

给定一个非空的字符串 s &#xff0c;检查是否可以通过由它的一个子串重复多次构成。 示例 1: 输入: s "abab" 输出: true 解释: 可由子串 "ab" 重复两次构成。示例 2: 输入: s "aba" 输出: false示例 3: 输入: s "abcabcabcabc&quo…
阅读更多...
单片机--数电（4）

单片机--数电（4）

触发器 数字电路中&#xff1a;分组合逻辑电路与时序逻辑电路两大类 组合逻辑电路的基本单元是门电路&#xff08;与或非等一些门电路&#xff09; 时序逻辑电路的基本单元是触发器 触发器与门电路的区别 门电路某一时刻的输出信号完全取决于该时刻的输入信号&#xff0c;…
阅读更多...
销售数据分析怎么做？用好这5个数据分析方法与模型就足够了。

销售数据分析怎么做？用好这5个数据分析方法与模型就足够了。

企业经营其实简单来说就是做买卖&#xff0c;有了买卖自然就产生了销售数据&#xff0c;那怎么能让这些销售数据产生价值呢&#xff1f;答案就是数据分析。通过对销售数据的分析&#xff0c;可以帮助企业及时洞察市场动向&#xff0c;发现企业销售过程中的问题&#xff0c;调整…
阅读更多...
最新文章

Copyright @ 2022~2023