c++算法学习笔记 (15) 质数

1.试除法判断某个数是否为质数

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 50005;
bool is_prime1(int n)
{ // 暴力写法:O(n)if (n < 2)return false;for (int i = 2; i < n; i++){if (n % i == 0)return false;}return true;
}
// 优化,每次只枚举较小的一个约数
bool is_prime2(int n)
{ // O(根号n)if (n < 2)return false;for (int i = 2; i <= n / i; i++){if (n % i == 0)return false;}return true;
}
int main()
{return 0;
}

2. 分解质因数

给定 n 个正整数 ai,将每个数分解质因数,并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行,每行包含一个正整数 ai。

输出格式

对于每个正整数 ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后,每个质因数的底数和指数,每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后,输出一个空行。

数据范围

1≤n≤100
2≤ai≤2×10^9

输入样例:
2
6
8
输出样例:
2 1
3 12 3

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 50005;
void divide1(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i++) // 底数一定为质数(因为从小到大枚举){                            // 暴力 O(n)if (n % i == 0){int s = 0;while (n % i == 0){n /= i;s++;}cout << i << " " << s << endl; // 底数,指数}}cout << endl;
}
// 优化:n中最多只包含一个大于sqrt(n)的质因子(反证:如果有两个,则乘起来>n)
void divide2(int n)
{for (int i = 2; i <= n / i; i++){ // O(logn)~O(根号n)if (n % i == 0){int s = 0;while (n % i == 0){n /= i;s++;}cout << i << " " << s << endl; // 底数,指数}}if (n > 1)                         // 最后剩下的数要么为1,要么为大于sqrt(n)的质因子cout << n << " " << 1 << endl; // 特殊处理即可cout << endl;
}
int main()
{int n;cin >> n;while (n--){int x;cin >> x;divide2(x);}return 0;
}

3. 筛质数

给定一个正整数 n,请你求出 1∼n中质数的个数。

输入格式

共一行,包含整数 n。

输出格式

共一行,包含一个整数,表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围

1≤n≤10^6

输入样例:
8
输出样例:
4

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes1(int n)
{ // O(lnn)for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i] == 0){primes[cnt++] = i; // 存质数}for (int j = i + i; j <= n; j += i){st[j] = true; // 将i的倍数删去}}
}
// 优化:不必枚举2~p-1,只需枚举里面的质数
void get_primes2(int n) // 埃氏筛:原理:在朴素筛法的过程中只用质数项去筛.
{                       // O(nloglogn)for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i] == 0){primes[cnt++] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i){st[j] = true; // 将i的倍数删去}}}
}
// 线性筛法
void get_primes3(int n)
{ // 原理:1~n之内的任何一个合数一定会被筛掉,而且筛的时候只用最小质因子来筛,// 然后每一个数都只有一个最小质因子,因此每个数都只会被筛一次,因此线性筛法是线性的.for (int i = 2; i <= n; i++){if (st[i] == 0){primes[cnt++] = i;}for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j += i){st[primes[j] * i] = true;if (i % primes[j] == 0)break;}}
}
int main()
{int n;cin >> n;get_primes2(n);cout << cnt << endl;return 0;
}

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